Teorema sull'unicità del limite...

[Nausicaa912]

si dimostra arrivano all'assurdo, negand la esi, vvvero ammettendo che f(x) abbia limite l' ed l'' nel punto $x0$
fissato $epsilon>0$, essendo l' e l'' ue limiti della f in $x_0$
si ha che
esiste $delta'_epsilon : |f(x)-l'| esiste $delta''_epsilon: |f(x)-l''|
adesso per il minore tra i due $delta_epsilon$,
dovrà essere che

$|f(x)-l'|+|f(x)-l''| come si prosegue poi? :S

[dissonance]

Quello che vuoi dimostrare è che $l'$ ed $l''$ sono "infinitamente vicini", ovvero che la loro distanza $|l'-l''|$ è più piccola di qualsiasi $epsilon$ positivo. Questo equivale a dire che $l'=l''$. E' chiaro questo punto? Se si, tutto ciò che devi fare è usare la disuguaglianza triangolare:

$|l'-l''|<=|l'-f(x)|+|l''+f(x)|$

dove $x$ lo puoi scegliere come ti pare. In particolare, scegliendolo abbastanza vicino ad $x_0$...

[Albert Wesker 27]

Ti rimando anche a questa https://www.matematicamente.it/forum/teo ... 0%20limite . La postai qualche tempo fa e dimostra il teorema di unicità del limite utilizzando la definizione unificata. Se ti va, dai un'occhiata.

[Nausicaa912]

grazie, tutto chiaro! Questo teorema può essere dimostrato in modi simili ma comunque differenti, vedo! Molto interessante, grazie!
posso chiedere una cosa che non c'entra nulla?
Sto studiando analisi I all'università, e ogni volta per dimostrare un teorema, specificano sempre che $x_0$ è un punto d'accumulazione per X, insieme di definizione della funzione. Ma dire ciò, equivale a dire che quella funzione "c'è" in intorni di $x_0$?

[Paolo902]

Sì, in sostanza sì.

Chiedere che $x_0$ sia di accumulazione per $"dom"f$ equivale a chiedere che ogni intorno di $x_0$ (privato di $x_0$ stesso) abbia intersezione non vuota con $"dom"f$. Questo serve proprio per "andare al limite" e rende intuitivamente l'idea di che significhi "avvicinarsi sempre di più" a $x_0$ (senza mai raggiungerlo).

Ti invito, infine, a notare le analogie e (soprattutto) le differenze con la definizione di continuità in un punto, nella quale invece non si richiede $x_0$ di accumulazione, ma solo di aderenza.

[Nausicaa912]

"Paolo90":Sì, in sostanza sì.

Chiedere che $x_0$ sia di accumulazione per $"dom"f$ equivale a chiedere che ogni intorno di $x_0$ (privato di $x_0$ stesso) abbia intersezione non vuota con $"dom"f$. Questo serve proprio per "andare al limite" e rende intuitivamente l'idea di che significhi "avvicinarsi sempre di più" a $x_0$ (senza mai raggiungerlo).

Ti invito, infine, a notare le analogie e (soprattutto) le differenze con la definizione di continuità in un punto, nella quale invece non si richiede $x_0$ di accumulazione, ma solo di aderenza.

sì ho notato! Cioè in sostanza ci interessa cosa fa la funzione in intorni di $x_0$, non nel punto di x0 stesso... nelle funzioni continue sappiamo che $f(x_0)=l$, quindi se f è definita in $x_0$ (f continua) il limite è proprio $f(x_0)$... giusto?

[Albert Wesker 27]

Il fatto che $f(x_0)$ esista non vuol dire che la funzione sia continua in $x_0$!

Ti propongo un caso (molto semplice) del genere:

$f(x)={(x,if x!=2),(3,if x=2):}$ .

Vedi come in tale funzione $ lim_(x -> 2) f(x) =2$ mentre $f(2)=3$. Ecco che il limite esiste e $x_0=2$ fa parte del dominio della funzione ma c'è comunque una discontinuità (di terza specie) in quel punto.


EDIT: Forse ho interpretato male il tuo messaggio. Se intendevi chiedere se, data una funzione continua in $x_0$, $ lim_(x -> x_0) f(x) =f(x_0)$, la risposta è ovviamente "sì!"