Teorema sulle successioni monotone

[Sk_Anonymous]

Ciao, c'è una cosa che non mi è chiara su questa dimostrazione
http://progettomatematica.dm.unibo.it/s ... Dim52.html

Nella seconda riga del secondo caso, c'è scritto a(ni)>l-epsilon.
Ma se una successione converge ad un limite finito l, fissato un epsilon maggiore di zero ed un indice (ni) che appartiene a N, per ogni n>ni, l-epsilonl-epsilon? Non dovrebbe essere a(ni)=l-epsilon? Scusate se non ho usato la corretta grafia, ma non la so usare, spero nel vostro aiuto. Faccio un disegno per chiarire le cose
http://i56.tinypic.com/34pb76u.png

[Rinhos]

no, perché non è detto che per ogni $epsilon$ esista un $n_epsilon$ per il quale $a_(n_epsilon)=l-epsilon$. Per dirla chiara, nel tuo disegno non è detto che uno dei punti della tua successione stia per forza sulla linea dell'$l-epsilon$.

viceversa, come hai disegnato tu, tra $l-epsilon$ e $l$ ci sono tanti puntini (per definizione di estremo superiore). Basta scegliere un $n_epsilon$ opportuno per andarli a beccare

ovviamente, non c'è nessuna ni

[Sk_Anonymous]

Ok, ma la circostanza che io ho fatto nel disegno può sempre accadere visto che la scelta di epsilon è arbitraria, quindi dire che a(n-epsilon) è maggiore di l-epsilon è sbagliato, oppure mi sfugge qualcosa?

[gugo82]

[mod="gugo82"]@Scoscia: Sei pregato di cominciare ad usare il MathML per inserire testo matematico (cfr. regolamento, 3.6 bis); per imparare clicca su formule .[/mod]

[Rinhos]

"Soscia":Ok, ma la circostanza che io ho fatto nel disegno può sempre accadere visto che la scelta di epsilon è arbitraria, quindi dire che a(n-epsilon) è maggiore di l-epsilon è sbagliato, oppure mi sfugge qualcosa?

uhm, ho capito dove ti confondi. attenzione, che l'$n_epsilon$ non dipende direttamente da $epsilon$. in realtà questo $n_epsilon$ non è neanche unico. il concetto è quello di prendere un indice per il quale la successione stia definitivamente (ovvero $AA n>n_epsilon$) sopra quel valore $l-epsilon$. Questo è possibile perché sappiamo che l'estremo superiore è $l$...

l'idea della dimostrazione è questa:

siccome è vero che la successione sta definitivamente tra $l-epsilon$ e $l$ per ogni epsilon, a maggior ragione la successione sta definitivamente in un intorno centrato in $l$, qualunque esso sia, il che è la definizione di limite

[Sk_Anonymous]

Io mi confondo con l'indice della definizione di limite. Infatti, quest'ultima afferma che una successione converge ad l se e solo se per ogni numero naturale n maggiore di un certo indice (dipendente dalla scelta di epsilon), a(n) sta sopra l-epsilon, ossia sarà compresa definitivamente in quella striscia di piano. Quindi questo indice che viene fissato non ha nulla a che fare con la definizione di limite?

x il mod: si, hai ragione, appena avrò un pò di tempo imparerò ad usare la sintassi corretta, perdonami!

[Rinhos]

"Soscia":Io mi confondo con l'indice della definizione di limite. Infatti, quest'ultima afferma che una successione converge ad l se e solo se per ogni numero naturale n maggiore di un certo indice (dipendente dalla scelta di epsilon), a(n) sta sopra l-epsilon, ossia sarà compresa definitivamente in quella striscia di piano. Quindi questo indice che viene fissato non ha nulla a che fare con la definizione di limite?

invece il principio è esattamente lo stesso! con la differenza che nella definizione di limite l'$a_n$ deve stare definitivamente in un intorno di $l$ (infatti si dice che $l-epsilonl-epsilon$...l'altra disuguaglianza è ovvia

il concetto di limite ce l'hai chiaro, non capisco quale sia l'incomprensione

[Sk_Anonymous]

vabbè, ho capito, il problema è che io pensavo che gli indici che si fissavano sull'asse delle ascisse (sia nel caso di successione convergente, sia divergente), dipendevano dai valori l-epsilon e M, cos' come accade nelle definizioni di limite, perciò non mi tornavano i conti. Ora invece tutto ok, perchè anche se gli indici li prendo a caso positivi, comunque arrivo a dimostrare che le successioni hanno limite. Grazie