Teorema sulle successioni

[galles90]

Amici buongiorno

ho un dubbio con il seguente teorema di cui :

Sia \(\displaystyle x_0 \) un punto di accumulazione per \(\displaystyle X \).Esiste una successione di punti di \(\displaystyle X\setminus{x_0} \) convergente a x_0.
Se \(\displaystyle X \) non è limitato superiormente (inferiormente) esiste una successione di punti di \(\displaystyle X \) che diverge positivamente (negativamente)

Dimostrazione:
Per ogni \(\displaystyle n \) scegliamo un punto \(\displaystyle x_n \in X \setminus {x_0} \) tale che :

1) \(\displaystyle x_0 -\tfrac{1}{n}
In modo analogo si ottiene il risultato negli altri due casi.

Fine della dimostrazione sulla mia dispensa.

Ora la 1) dice che \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n=x_0 \), quindi se è cosi per ogni \(\displaystyle n \) che noi scegliamo la successione ricade nell'intervallino 1) ??

Invece per la seconda parte suppongo che deve essere cosi:
Sia \(\displaystyle X \) non limitato superiormente, quindi \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n=+\infty \), per definizione di limite di successione non limitata superiormente si ha :

\(\displaystyle \forall K, \exists \delta: \forall n>\delta \to x_n>K \), quindi la 1) diventa :

\(\displaystyle x_0 -\tfrac{1}{n}
Grazie per i consigli e pareri.

Ciao

[Bremen000]

Come nelle altre tue domande, purtroppo, non è molto chiaro quello che chiedi. Per la prima parte quale è il tuo dubbio? $X$ è un sottoinsieme di $RR$?

Per la seconda parte sai che $X$ è illimitato ma poi metti un “quindi” che non è giustificato (cioè metti direttamente la tesi..) e che c’entra $x_0$?

[galles90]

Buongiorno, il mio dubbio riferito alla prima parte della dimostrazione è il seguente:

la relazione che segue:

1) \(\displaystyle x_0 -\tfrac{1}{n}
dice che \( \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n=x_0 \) ?, quindi se è cosi per ogni \( \displaystyle n \) che noi scegliamo la successione cade nell'intervallino 1) ?

Invece un altro mio dubbio e se \(\displaystyle X \) non è limitato superiormente, quindi il mio modo di procedere è :


Sia \( \displaystyle X \) non limitato superiormente, si deve verificare che il \( \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n=l \) con \(\displaystyle l=\infty \) allora si ha :

\( \displaystyle \forall K, \exists \delta: \forall n>\delta \to x_n>K \), quindi la 1) diventa :

1) \(\displaystyle K

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[Bremen000]

Ciao, la relazione 1) implica che $\lim_{n} x_n = x_0$, è un’applicazione del teorema dei carabinieri. Se non ti è chiaro perché, chiedi pure. Comunque bisognerebbe giustificare perché esistono quei punti $x_n$ che costrituiscono la successione: quale definizione di punto di accumulazione conosci?

Non ha tanto senso la frase “la successione cade”, quello che hai è che $x_n \in (x_0 -1/n , x_0 + 1/n)$ per ogni $n \in NN_0$

Le altre cose che hai scritto non hanno tanto senso: si deve dimostrare che se $X$ è illimitato superiormente allora esiste una successione di punti di $X$ che diverge positivamente. Cioè la prima parte del teorema e la seconda (sebbene ci sia un legame) non si dimostrano nella stessa maniera e $x_0$ non ha alcun ruolo nella seconda parte.

Potresti partire dalla definizione di insieme illimitato e vedere se puoi costruire una successione...

Prova a riflettere su tutto ciò, se poi non hai ancora capito, ti fornisco una dimostrazione.

[galles90]

Ciao Bremen000,
allora quando dici che \(\displaystyle \lim_{n\to \infty}x_n=x_0 \) è un'applicazione del teorema dei carabinieri, cioè intendi dire:

Prop.1 Siano \(\displaystyle {a_n} ,b_n , c_n \) tre successioni tali che definitivamente \(\displaystyle a_n\le b_n \le c_n \) e che \(\displaystyle a_n \to l \) e \(\displaystyle c_n \to l \), allora anche la successione \(\displaystyle b_n \to l \).

Dimostrazione:

Le tre successioni in gioco sono:
\(\displaystyle a_n=x_0-\tfrac{1}{n} \)
\(\displaystyle b_n=x_n \)
\(\displaystyle c_n=x_0+\tfrac{1}{n} \)

fissiamo un intorno \(\displaystyle ] H,K[ \) di \(\displaystyle l \).
Faccio vedere che ogni successione convergente è limitata, prendo in esame la successione \(\displaystyle a_n \).

Prop.2 Se \(\displaystyle a_n \to l \) e se \(\displaystyle H

Dimostrazione Prop.2
Scelto un intorno \(\displaystyle ] H,K[ \) di \(\displaystyle l \), per definizione di limite anche \(\displaystyle a_n \in ]H,K[ \), quello che noi interessa é \(\displaystyle a_n>H \), sappiamo che \(\displaystyle a_n \) è limitata inferiormente se esiste un \(\displaystyle H \) tale che \(\displaystyle a_n>H \) per un certo indice indice in poi.
In modo analogo succede per \(\displaystyle c_n \).
Fine dimostrazione Prop.2

Quindi dalla ipotesi che \(\displaystyle a_n \le c_n \) ne segue che \(\displaystyle a_n>H \) e \(\displaystyle c_n Allora definitivamente si ha :

\(\displaystyle H la dimostrazione è finita.

Spero di aver elaborato nel modo giusto

Questa è solo la prima parte.

Ciao

[Bremen000]

Ho letto fino a qua:

"galles90":
... \( \displaystyle c_n=x_0+\tfrac{1}{n} \)

Ed è tutto giusto. Basta notare che $\lim_{n} 1/n = 0 $ e dunque $\lim_{n}a_n =x_0$ e $\lim_{n}c_n=x_0$

Sinceramente non ho letto le altre cose che hai scritto, ma non sono necessarie.

Per adesso abbiamo mostrato che quella successione, se esiste, converge a $x_0$, ma come facciamo a dire che esiste?

[galles90]

Ora dobbiamo dimostrare che la successione è regolare in \(\displaystyle x_0 \), si ha :

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} f(x_n)=\lim_{x\to x_0}f(x)\)

se si verifica questo, la successione è regolare in \(\displaystyle x_0 \)

[Bremen000]

Ciao, ma perché ignori quello che scrivo e scrivi cose che non c’entrano?

La successione in questione è già regolare (ammette limite) quindi che c’entra quello che dici?
Il vero problema è che bisogna mostrare che tale successione esiste. Hai idea di come si faccia?

Fatto ciò, poi passiamo al secondo pezzo.


P. S. : cosa studi?

[galles90]

Ciao,

dobbiamo applicare la definizione di limite di successione, se viene soddisfatta, possiamo confermare che il limite esiste.

cosa studio?? non lo so nemmeno io...

[Bremen000]

Temo che tu non abbia chiari alcuni concetti. Non sto dicendo che dobbiamo affermare che il limite esiste (l'abbiamo già fatto vedere). Manca un passo precedente che tu non hai fatto: bisogna dimostrare che gli elementi della successione esistono, in soldoni che per ogni $n \in NN$ è possibile scegliere un punto $x_n$ tale che valga la (1).

Ti scrivo per bene la dimostrazione, dimmi se è tutto chiaro:

Teo: Sia $X \subset RR$ non vuoto e sia $x_0 \in X$ un punto di accumulazione per $X$. Allora esiste una successione $\{x_n}_{n \in NN_0} \subset X \setminus \{x_0 \}$ tale che $lim_{n} x_n = x_0$.

Dim: Per definizione di punto di accumulazione, per ogni $r>0$ esiste un intervallo $B_r:=(x0-r, x_0 + r)$ tale che $(B_r \cap X) \setminus \{x_0 \} \ne \emptyset$.
Dato che la definizione scritta sopra vale per ogni $r>0$ nulla vieta di scegliere una successione $r_n := 1/n$ per ogni $n \in NN_0$. Allora la definizione diventa:
per ogni $n>0$ esiste un intervallo $B_{1/n} = (x_0-1/n, x_0+1/n)$ tale che $(B_{1/n} \cap X) \setminus \{x_0 \} \ne \emptyset$.
Ovvero per ogni $n \in NN_0$ è possibile scegliere un punto $x_n$ che appartiene all'insieme $(B_{1/n} \cap X) \setminus \{x_0 \} \ne \emptyset$, questo si può fare perché quell'insieme è non vuoto. Evidentemente $x_n$ appartiene contemporaneamente a $X \setminus \{x_0 \}$ e a $B_{1/n}$ ovvero soddisfa $x_0 -1/n < x_n < x_0 +1/n$.

Per il teorema dei carabinieri $lim_{n} x_n = x_0$, che è quanto volevamo dimostrare.

[galles90]

Sulle mie dispense non c'è questo teorema...??? comunque ora mi studio la dimostrazione più tardi ti risponderò

Grazie

[dissonance]

"Bremen000":

P. S. : cosa studi?

Questo vorrei saperlo anche io. Nel senso: sei iscritto ad una facoltà? Quale?

[Bremen000]

Ma come “non c’è questo teorema”? È quello che hai citato tu nella domanda di apertura!!