Teorema sulle successione.
Salve, non riesco a capire completamente il seguente teorema.
"Teorema 2.17. Ogni successione ($a_n$) di mumeri reali ammette una sottosuccessione monotona. Dimostrazione. Sia ($a_n$) una successione. Introduciamo la seguente terminologia. Un numero
$k∈N$ si dice picco di $a_n$ se $a_k>a_j$ per ogni $j>k$.Chiamiamo $P⊂N$ l’insieme dei picchi.
Caso 1. L’insieme P ha infiniti elementi. Allora, se elenchiamo in ordine crescente i picchi,
$k_1 < k_2 < · · ·$ , la successione ($a_(k_n)$ )$n∈N$ è monotona decrescente strettamente.
Caso 2. L’insieme $P$ è vuoto o ha un numero finito di elementi. In tal caso, scegliamo un numero $k_1 ∈ N$ che sia piú grande strettamente di tutti i picchi. Poiché $k_1$ non è un picco, esisterà $k_2 > k_1$ tale che $a_(k_1) ≤ a_(k_2)$. Ma nemmeno $k_2$ è un picco. Quindi esiste $k_3 > k_2$ tale che $a_(k_2) ≤ a_(k_3)$. Proseguendo in questo modo si costruisce una successione monotona crescente $(a_(k_n) )n∈N$.
La dimostrazione è conclusa"
Mi sfugge il concetto di picco non riesco a "visualizzarlo" in una successione. Ad esempio se prendo $a_n=n$ quale sarebbe il picco di questa successione?
Il teorema in sé mi è chiaro ma non riesco a capire così come è stato formalizzato matematicamente.
"Teorema 2.17. Ogni successione ($a_n$) di mumeri reali ammette una sottosuccessione monotona. Dimostrazione. Sia ($a_n$) una successione. Introduciamo la seguente terminologia. Un numero
$k∈N$ si dice picco di $a_n$ se $a_k>a_j$ per ogni $j>k$.Chiamiamo $P⊂N$ l’insieme dei picchi.
Caso 1. L’insieme P ha infiniti elementi. Allora, se elenchiamo in ordine crescente i picchi,
$k_1 < k_2 < · · ·$ , la successione ($a_(k_n)$ )$n∈N$ è monotona decrescente strettamente.
Caso 2. L’insieme $P$ è vuoto o ha un numero finito di elementi. In tal caso, scegliamo un numero $k_1 ∈ N$ che sia piú grande strettamente di tutti i picchi. Poiché $k_1$ non è un picco, esisterà $k_2 > k_1$ tale che $a_(k_1) ≤ a_(k_2)$. Ma nemmeno $k_2$ è un picco. Quindi esiste $k_3 > k_2$ tale che $a_(k_2) ≤ a_(k_3)$. Proseguendo in questo modo si costruisce una successione monotona crescente $(a_(k_n) )n∈N$.
La dimostrazione è conclusa"
Mi sfugge il concetto di picco non riesco a "visualizzarlo" in una successione. Ad esempio se prendo $a_n=n$ quale sarebbe il picco di questa successione?
Il teorema in sé mi è chiaro ma non riesco a capire così come è stato formalizzato matematicamente.
Risposte
Con \(\displaystyle a_n = n \) si è nel caso 2 della dimostrazione con \(\displaystyle P \) vuoto.
Un picco è l'indice di un elemento che è strettamente maggiore di tutti gli elementi che vengono dopo. Per esempio il picco di \(\displaystyle a_n = -|n - 5| \) è \(\displaystyle k = 5 \).
Un picco è l'indice di un elemento che è strettamente maggiore di tutti gli elementi che vengono dopo. Per esempio il picco di \(\displaystyle a_n = -|n - 5| \) è \(\displaystyle k = 5 \).
"bobus":
Con \(\displaystyle a_n = n \) si è nel caso 2 della dimostrazione con \(\displaystyle P \) vuoto.
Un picco è l'indice di un elemento che è strettamente maggiore di tutti gli elementi che vengono dopo. Per esempio il picco di \(\displaystyle a_n = -|n - 5| \) è \(\displaystyle k = 5 \).
Ah ok quindi se definiamo l'insieme dei picchi come fa il teorema non implica che la successione sia monotona decrescente.
Quindi nel caso secondo caso scritto da te rientriamo nel caso due in cui $P$ è finito ed è uno solo, ovvero $5$. Ora però secondo quello che c'è scritto nel caso due prendo un $k_1>5$ e quindi non essendo un picco, esisterà $k_2 > k_1$ $/$ $a_(k_1)<=a_(k_2)$ e siccome $k_2$ non è neanche lui un picco possiamo rifarlo creando una successione monotona crescente.
Questo passaggio qui non mi è per niente chiaro. Cioè fino al punto in decido di prendere un $k_1>k=5$ e quindi che $k_1$ non è un picco ed esisterà $k_2 > k_1$ ma dopo il / non capisco il perché ? deriva dalla definizione dell'insieme dei picchi? Sono in alto mare. Ho capito il teorema ma non capisco bene come si arriva a dire che esiste sempre una sottosuccesione monotona.
Quindi nel caso secondo caso scritto da te rientriamo nel caso due in cui $P$ è finito ed è uno solo, ovvero $5$.
Errore mio, non è il picco, ma è un picco della successione. Qui siamo nel caso dove $P$ sono infiniti, infatti dal quinto elemento in poi, ogni elemento della successione è strettamente maggiore di tutti quelli che vengono dopo, e la sottosuccessione individuata dai picchi è strettamente decrescente.
Questo passaggio qui non mi è per niente chiaro. Cioè fino al punto in decido di prendere un $k_1>k=5$ e quindi che $k_1$ non è un picco ed esisterà $k_2 > k_1$ ma dopo il / non capisco il perché ? deriva dalla definizione dell'insieme dei picchi? Sono in alto mare. Ho capito il teorema ma non capisco bene come si arriva a dire che esiste sempre una sottosuccesione monotona.
\(\displaystyle a_{k_1} \leq a_{k_2} \) deriva dalla negazione della definizione di picco. Poi siccome si è supposto che fossero in numero finito e \(\displaystyle k_2 \) è un indice maggiore di tutti i picchi, allora anche \(\displaystyle a_{k_2} \) non è un picco.
Se ho capito bene cosa stai chiedendo, dovresti assicurarti di aver capito cosa vuol dire negare una proposizione con un quantificatore universale. Cioè che "non è vero che per ogni x vale A(x)" significa che "esiste x tale che non A(x)". Questo è quello che permette di dire che esiste sempre un nuovo elemento per costruire una sottosuccessione monotona crescente nel caso 2.
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