Teorema sulle sfere incluse

[gloria19881]

Ciao a tutti, sono alle prese con il teorema sulle sfere incluse applicato agli spazi metrici. L'enunciato del teorema è il seguente:

- Affinchè lo spazio metrico R sia completo , è necessario e sufficiente che in esso ogni successione di sfere chiuse, incluse le une nelle altre, i cui raggi tendono a zero, abbia intersezione non vuota.

Mi chiedevo se sapreste indicarmi del materiale sulle applicazione che ha questo teorema in analisi.Grazie a tutti!

[gugo82]

Ma alla fine basta adattarsi la dimostrazione dal caso in cui lo spazio sia [tex]$\mathbb{R}$[/tex]...

Se non vedo male ce la possiamo cavare così.

[tex]$\Rightarrow$[/tex]) Prendiamo una successione di sfere [tex]$B_n:=B(x_n;r_n)$[/tex] chiuse inscatolate, ossia tali che [tex]$B_{n+1}\subseteq B_n$[/tex], con [tex]$r_n\to 0$[/tex].
La successione dei centri è di Cauchy: infatti, fissati [tex]$n,p\in \mathbb{N}$[/tex], si ha [tex]$x_n,x_{n+p}\in B_n$[/tex] e dunque [tex]$d(x_n,x_{n+p})\leq r_n$[/tex]; visto che [tex]$r_n\to 0^+$[/tex], allora per ogi [tex]$p$[/tex] si ha [tex]$d(x_n,x_{n+p}) \varepsilon$[/tex] non appena [tex]$n$[/tex] è abbastanza grande.
Lo spazio è completo, quindi esiste $x$ tale che [tex]$x_n\to x$[/tex].
Evidentemente, fissato [tex]$n$[/tex], si ha: [tex]$d(x_n,x)=\lim_p d(x_n,x_{n+p})\leq r_n$[/tex], perciò [tex]$x\in B_n$[/tex] per ogni [tex]$n$[/tex].

[tex]$\Leftarrow$[/tex]) Prendiamo una successione di Cauchy [tex]$(x_n)$[/tex]; a meno di passare ad una sottosuccessione si può ritenere che [tex]$d(x_n,x_{n+1})<\tfrac{1}{10^n}}$[/tex] e dimostriamo che una tale [tex]$(x_n)$[/tex] converge (ciò è possibile perchè una successione di Cauchy contiene una sottosuccessione convergente se e solo se essa stessa è convergente).
Consideriamo la successione di sfere chiuse [tex]$B_n:=B(x_n;\tfrac{1}{n})$[/tex]: tali sfere sono inscatolate, perchè per [tex]$y\in B_{n+1}$[/tex] risulta:

[tex]$d(y,x_n)\leq d(y,x_{n+1})+d(x_{n+1},x_n)\leq \frac{1}{n+1} +\frac{1}{10^n}<\frac{1}{n}$[/tex]*.

Conseguentemente le [tex]$B_n$[/tex] hanno un punto in comune [tex]$x$[/tex]; vista la definizione di [tex]$B_n$[/tex] ciò significa che per ogni [tex]$n$[/tex] risulta [tex]$d(x,x_n)\leq \tfrac{1}{n}$[/tex] e ciò implica [tex]$x_n\to x$[/tex]. [tex]$\square$[/tex]


__________
*La disuguaglianza segue dal fatto che per ogni [tex]$n$[/tex] si ha [tex]$\tfrac{1}{10^n} \leq \tfrac{1}{n} -\frac{1}{n+1} =\tfrac{1}{n^2+n}$[/tex] (come si verifica facilmente per induzione).

Ovviamente ricontrolla i passaggi.

*** EDIT: Come al solito avevo letto male e sono partito per la tangente.
Le applicazioni, chiedevi, non la dimostrazione!

Beh, questa è una caratterizzazione della completezza che sfrutta una proprietà che potremmo dire "geometrica" (intersezione delle palle) al posto di una proprietà più "analitica" (convergenza delle successioni di Cauchy).
Al momento non mi viene in mente nessuna applicazione immediata... Ma probabilmente c'è qualche dimostrazione in cui si va avanti più facilmente sfruttando questa caratterizzazione della completezza rispetto all'altra.

[dissonance]

Mi pare che una dimostrazione del lemma di Baire usi questa proprietà.

[gloria19881]

Guarda in realtà io la dimostrazione l'ho già fatta e l'ho capita per bene...mi piacerebbe però riuscire a vedere qualche applicazione un po' più pratica.Comunque grazie mille lo stesso...nel caso trovaste degli esempi fatemi sapere!!!!GRAZIE!