Teorema sulle serie di potenze
Salve a tutti. Data la seguente definizione:
devo dimostrare questo teorema:
Grazie a tutti
devo dimostrare questo teorema:
Grazie a tutti
Risposte
Questa è la dimostrazione che ho fatto
però non capisco perchè con il procedimento usato per dimostrare la conv. tot. in $[x_0 - k; x_0 + k]$ non si possa dimostrare la conv. tot. anche in $]x_0 - ρ; x_0 + ρ[$, da qui il dubbio che la dimostrazione del punto 2) sia sbagliata. Voi con queste ipotesi come la dimostrereste ?
però non capisco perchè con il procedimento usato per dimostrare la conv. tot. in $[x_0 - k; x_0 + k]$ non si possa dimostrare la conv. tot. anche in $]x_0 - ρ; x_0 + ρ[$, da qui il dubbio che la dimostrazione del punto 2) sia sbagliata. Voi con queste ipotesi come la dimostrereste ?
Ma non c'è qualcuno che ha mai visto questo teorema ? 
La convergenza totale in tutto l'intervallo di convergenza non è in generale possibile.
Ad esempio, prendi la serie logaritmica \(\sum \frac{1}{n}\ x^n\): evidentemente essa converge in \(]-1,1[\), non converge fuori da tale intervallo, e converge in \(-1\) ma non in \(1\); dunque \(\rho =1\).
La convergenza non è totale in tutto \(]-1,1[\): infatti si ha:
\[
M_n:=\sup_{x\in ]-1,1[} \left| \frac{1}{n}\ x^n \right|=\frac{1}{n}
\]
e la serie \(\sum M_n\) diverge.
Tuttavia, la convergenza è totale in ogni compatto incluso in \(]-1,1[\): infatti, in \([a,b]\subseteq ]-1,1[\) si ha:
\[
M_n:=\sup_{x\in [a,b]} \left| \frac{1}{n}\ x^n \right|=\frac{1}{n}\ \max \{ |a|^n, |b|^n\}
\]
ed in ogni caso la serie \(\sum M_n\) converge (poiché maggiorata da una serie geometrica convergente).
La dimostrazione della convergenza totale sui compatti è più o meno quella che hai proposto: preso un compatto \(K\subseteq ]x_0-\rho,x_0+\rho[\), puoi trovare \(k<\rho\) tale che \(K\subseteq [x_0-k,x_0+k] \subset ]x_0-\rho, x_0+\rho[\); ma allora scelto un \(r \in ]k,\rho[\), per \(x\in [x_0-k,x_0+k]\) hai:
\[
\sum_{n=0}^\infty |a_n|\ |x-x_0|^n = \sum_{n=0}^\infty |a_n|\ \frac{|x-x_0|^n}{r^n}\ r^n \leq \sum_{n=0}^\infty |a_n|\ \left(\frac{k}{r}\right)^n\ r^n \leq \sum_{n=0}^\infty |a_n|\ r^n
\]
con l'ultima serie convergente (per definizione di raggio di convergenza); quindi la serie converge totalmente in \([x_0-k,x_0+k]\) ed a fortiori in \(K\).
Tuttavia, nel ragionamento precedente non puoi prendere \(r=\rho\), perché in generale dalla definizione di raggio di convergenza non puoi trarre alcuna informazione sulla convergenza della serie \(\sum_{n=0}^\infty |a_n|\ \rho^n \) (e.g., la serie logaritmica citata in precedenza non converge in \(\rho=1\)).
Ad esempio, prendi la serie logaritmica \(\sum \frac{1}{n}\ x^n\): evidentemente essa converge in \(]-1,1[\), non converge fuori da tale intervallo, e converge in \(-1\) ma non in \(1\); dunque \(\rho =1\).
La convergenza non è totale in tutto \(]-1,1[\): infatti si ha:
\[
M_n:=\sup_{x\in ]-1,1[} \left| \frac{1}{n}\ x^n \right|=\frac{1}{n}
\]
e la serie \(\sum M_n\) diverge.
Tuttavia, la convergenza è totale in ogni compatto incluso in \(]-1,1[\): infatti, in \([a,b]\subseteq ]-1,1[\) si ha:
\[
M_n:=\sup_{x\in [a,b]} \left| \frac{1}{n}\ x^n \right|=\frac{1}{n}\ \max \{ |a|^n, |b|^n\}
\]
ed in ogni caso la serie \(\sum M_n\) converge (poiché maggiorata da una serie geometrica convergente).
La dimostrazione della convergenza totale sui compatti è più o meno quella che hai proposto: preso un compatto \(K\subseteq ]x_0-\rho,x_0+\rho[\), puoi trovare \(k<\rho\) tale che \(K\subseteq [x_0-k,x_0+k] \subset ]x_0-\rho, x_0+\rho[\); ma allora scelto un \(r \in ]k,\rho[\), per \(x\in [x_0-k,x_0+k]\) hai:
\[
\sum_{n=0}^\infty |a_n|\ |x-x_0|^n = \sum_{n=0}^\infty |a_n|\ \frac{|x-x_0|^n}{r^n}\ r^n \leq \sum_{n=0}^\infty |a_n|\ \left(\frac{k}{r}\right)^n\ r^n \leq \sum_{n=0}^\infty |a_n|\ r^n
\]
con l'ultima serie convergente (per definizione di raggio di convergenza); quindi la serie converge totalmente in \([x_0-k,x_0+k]\) ed a fortiori in \(K\).
Tuttavia, nel ragionamento precedente non puoi prendere \(r=\rho\), perché in generale dalla definizione di raggio di convergenza non puoi trarre alcuna informazione sulla convergenza della serie \(\sum_{n=0}^\infty |a_n|\ \rho^n \) (e.g., la serie logaritmica citata in precedenza non converge in \(\rho=1\)).
Ti ringrazio, chiarissmo come sempre 
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