Teorema sulle medie aritmetiche.

[galles90]

Buongiorno,

vi riporto un teorema inerente al paragrafo su i limiti di successioni, sulle medie aritmetiche, dove ci sono alcuni passaggi che non mi sono chiari

Date due successioni $a_n$ e $b_n$ infinitesime, la seconda decrescente, vale la seguente uguaglianza a patto che sia regolare la successione a secondo membro,

$lim_(n to infty)(a_n)/(b_n)=lim_(n to infty)(a_n-a_(n-1))/(b_n-b_(n-1))$

Dimostrazione:

Per ipotesi si ha che la successione a secondo membro ammette limite $l in mathbb{R}$ in questo caso finito, quindi dalla definizione di limite di successione si ha:
sia $ epsilon>0$, esiste in corrispondenza di tale valore, un indice $nu$, tale che per $n>nu$ si abbia:

$b_n>0$ ?

$(l-epsilon)(b_(n-1)-b_n)
ovviamente la dimostrazione continua, ma vorrei chiarire prima il mio dubbio.

Vi dico la mia, per ipotesi la successione è infinitesima, inoltre dobbiamo suppore che la successione risulti, anche definitivamente positiva, cioè è sottointeso questo, per $n>nu$, si abbia $0
Cordiali saluti.

[gugo82]

I $b_n$ sono decrescenti, diversi da zero (sono al denominatore) ed infinitesimi, dunque $b_n >= text(inf)_{n in NN} b_n = lim_n b_n = 0$ e $b_n != 0$, perciò $b_n >0$.

[galles90]

Vediamo se ho capito

allora si ha:
1.$ b_(n-1)>b_n $ in quanto la successione $b_n$, per ipotesi è decrescente,
2.$b_n to 0 $ per $n to + infty$ è infinitesima, inoltre si ha questa relazione \(\displaystyle b_n \ge \inf_{(n \in \mathbb{N})} b_n=\lim_{(n \to \infty)} b_n=0 \)
mi stai dicendo "o meglio quello che ho capito", che la successione è infinitesima, ed essendo decrescente, l'estremo inferiore coincide con il limite, inoltre deve essere anche che $b_n ne 0$ dalla relazione a sinistra, per cui si ha:
$b_n ge 0$ e $b_n ne 0$, allora $b_n>0$

Se è si procedo con il resto della dimostrazione

Ciao gugo82

[gugo82]

Ma certo, è naturale.
Prosegui pure.

Non so se ti è chiaro, ma l’uguaglianza $text(inf) = lim$ vale per il Teorema di Regolarità delle Successioni Monotòne.


P.S.: Che poi quello che stai dimostrando è un analogo per le successioni del Teorema di de l’Hôpital…

[galles90]

Si gugo82 ,

riporto per semplicità la relazione $(l-epsilon)(b_(n-1)-b_n)
Siano due indici $r,s$ tali che $nu

$(l-epsilon)(b_r-b_s)
Fissato $r$, per $s to + infty$ si ha che, il termine a sinistra tende a $(l-epsilon)b_r$, quello a destra $(l+epsilon)b_r$, mentre il termine centrale, per ipotesi ${a_n}$ sia infinitesima, tende a $a_r$, si ha allora

$(l-epsilon)lea_r/b_r le (l+epsilon),$

cio significa che $lim_(n to infty) a_n/b_n =l.$

Il primo passaggio in cui somma...., l'intendo di questo passaggio è quello di portare, nelle relazioni sinistra, centrale, e destra solo un termine, cosi facendo ha una quantità che rispetti le proprietà richieste del limite di partenza, in quanto l'autore si è assicurato di prendere i termini dopo un certo indice $nu$, per cui si ha necessariamente $a_n/b_n to l$ per $n to infty$.

Questo è quello che ho interpretato, comunque per il teorema sulle funzione monotone, all'inizio non mi era molto chiara l'uguaglianza, ma ora si, inoltre per la seconda osservazione, si lo so che è un analogo del teorema di l'Hopital.

Buona serata.

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[galles90]

gugo82, non lasciarmi in alto mare....

[gugo82]

Non capisco quale sia il problema… Mi pare tu abbia colto l’essenziale.
Innanzitutto, trovo più conveniente scrivere la catena di disuguaglianze con gli indici $n+1$ ed $n$, anziché con $n$ ed $n-1$, quindi nella forma $ (l-epsilon)(b_n - b_(n+1)) < a_n - a_(n+1) < (l + epsilon) (b_n - b_(n+1)) $.
Fissato $n>nu$ e scelto $p in NN$ con $p>=1$ hai:
\[
\begin{split}
(l - \varepsilon) (b_n - b_{n+1}) < a_n &- a_{n+1} < (l + \varepsilon) (b_n - b_{n+1}) \\
(l - \varepsilon) (b_{n+1} - b_{n+2}) < a_{n+1} &- a_{n+2} < (l + \varepsilon) (b_{n+1} - b_{n+2}) \\
(l - \varepsilon) (b_{n+2} - b_{n+3}) < a_{n+2} &- a_{n+3} < (l + \varepsilon) (b_{n+2} - b_{n+3}) \\
&\vdots \\
(l - \varepsilon) (b_{n+p-1} - b_{n+p}) < a_{n+p-1} &- a_{n+p} < (l + \varepsilon) (b_{n+p-1} - b_{n+p}) \; ;
\end{split}
\]
sommando m.a.m. le $p$ catene di disuguaglianze i membri con indici $n+1, n+2, …, n+p-1$ si semplificano e si ottiene:
\[
(l - \varepsilon) (b_n - b_{n+p}) < a_n - a_{n+p} < (l + \varepsilon) (b_n - b_{n+p}) \; ,
\]
da cui, passando al limite per $p->oo$, si ottiene (per teoremi di confronto):
\[
(l - \varepsilon) b_n \leq a_n \leq (l + \varepsilon) b_n \qquad \Rightarrow\qquad l -\varepsilon \leq \frac{a_n}{b_n} \leq l + \varepsilon \;.
\]
Ovviamente, se vuoi una versione “pulita” con le disuguaglianze strette, ti basta prendere $epsilon/2$ al posto di $epsilon$ come al solito.

[galles90]

Perfetto, come previsto. Il problema che alcune volte sono insicuro, quindi cerco conferma a voi...passerà.
Grazie per l'aiuto gugo82.