Teorema sulla derivata seconda

[anto_zoolander]

We

Ho dimostrato un teorema in maniera autonoma e cercavo di capire se tutti i passaggi fossero abbastanza legali.

sia $IsubseteqRR$ un intervallo aperto e sia $f:I->R$ una funzione. Supponiamo inoltre che $f inC^2(I)$

$•$ se $f''(x)>0forallx inI$ allora $f$ è convessa in $I$

Inizio ponendo $g(x)=f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0) forallx inI$
In particolare $ginC^2(I)$ poiché è somma di funzioni derivabili due volte in $I$

Dunque il problema diventa 'mostrare che $g(x)>0 forallx inI$'

$g'(x)=f'(x)-f'(x_0)$ in particolare $g'(x_0)=0$
Calcolando la derivata seconda ottengo che $g''(x)=f''(x)$ in particolare $g''(x_0)=f''(x_0) forallx_0inI$

Per ipotesi sappiamo che $f''(x)>0 forallx inI$ dunque deve essere $g''(x_0)>0forallx_0 inI$

So che $0x_0)(g'(x)-g'(x_0))/(x-x_0)$
In particolare questo vale per il limite destro e sinistro, quindi posso utilizzare il teorema di permanenza del segno applicandoli al limite destro e sinistro.
Infatti facendo il limite a sinistra, il denominatore sarebbe negativo e a destra positivo.

Dunque,

$exists B_(-)(x_0,a[: g'(x)
$exists B_(+)(x_0,b[: g'(x)>g'(x_0)=0 forallx inB_(+)(x_0,b[capI forallx_0inI$

E infine $g'(x_0)=0$ dunque $x_0$ è un punto di minimo per $g$ poiché(detto alla ignorante) la derivata a sinistra decresce e a destra cresce. Pongo $c=min{a,b}$

Dunque si ha $g(x)>g(x_0)=0forallx inB(x_0,c[capIforallx_0inI$

Che è la tesi. In particolare viene raggiunta per l'arbitrarietà di $x_0$

Ora io ho mostrato così è che strettamente convessa in $I$ ma non semplicemente convessa e mi sembra abbastanza legale.
Il problema è non diventare illegale con l'uguaglianza.
Per esempio io ho mostrato che se $f''(x)>0$ per ogni elemento dell'intervallo, allora $f$ è convessa nell'intervallo.

[Seneca1]

Secondo me non è scritta granché bene (e non riesco a cogliere il senso delle ultime tre righe) e pertanto non l'ho controllata a fondo. Se riesci potresti metterci mano in modo da dare una sistemata? Per esempio vedo che positività della $g$ l'hai stabilita solo localmente...

Io la farei più facile, sfruttando la formula di Taylor con il resto di Lagrange. Dato $x_0 \in I$, per ogni $x \in I$ esiste $\xi \in ] x_0 , x[$ (oppure $\xi \in ]x , x_0[$) tale che:
\[f(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0) + \frac{f''(\xi)}{2} (x - x_0)^2 \]
\[f(x) - f(x_0) - f'(x_0) (x - x_0) = \frac{f''(\xi)}{2} (x - x_0)^2 > 0 \]
ovvero per ogni $x_0 \in I$, $f(x) > f(x_0) + f'(x_0) ( x - x_0)$ per ogni $x \in I$, che è il punto a cui volevi arrivare tu.

[anto_zoolander]

Si la conosco quella con il resto di Lagrange, però non mi piace
O almeno, volevo dimostrarla in un altro modo.

Metto in spoiler

io ho cominciato definendo la funzione $g$ in questo modo

$g(x)=f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0),forallx inI, forallx_0 in I$

Avevo omesso il forall $x_0 inI$
Adesso derivo $g$ due volte:

$g'(x)=f'(x)-f'(x_0)$
$g''(x)=f''(x)$

In particolare $g(x_0)=g'(x_0)=0$

Ora so, dalle ipotesi, che $g''(x_0)>0forallx_0inI$

Ovvero $g''(x_0)=lim_(x->x_0)(g(x)-g(x_0))/(x-x_0)>0$

Ora questo risultato vale comunque preso $x_0$ e comunque preso $x$
Dunque è vero che utilizzando il teorema di permanenza, trovo un qualcosa di locale, ma lo trovo per ogni $x_0$

Dunque come detto prima,

in un intorno destro di $x_0$ ho $g'(x)>g'(x_0)=0$
in un intorno sinistro di $x_0$ ho $g'(x) inoltre $g'(x_0)=0$

Dunque ogni $x_0 inI$ è un punto di minimo per $g$

Da cui si ottiene che $forallx_0 inI g(x)>0 forallx inI$

[Seneca1]

Come ti ho scritto nel post precedente, ad $x_0 \in I$ fissato ottieni la positività di $g(x;x_0)$ in un intorno $U(x_0) \subset I$ (localmente). Ti convince?

[anto_zoolander]

Si.
Ottengo la positività in suo intorno, questo mi dice che è convessa in quel punto.
Ma dall'arbitrarietà di $x_0$, non ottengo che è quindi convessa in ogni suo punto e quindi in tutto l'intervallo?

A me interessava sapere che fosse convessa in $I$ in effetti potevo limitarmi a mostrare che valesse per ogni $x_0in I$

[Seneca1]

Sì, ma sotto c'è un teorema.
Infatti la definizione di funzione convessa su $I$ (globale) non è data come: "...convessa in ogni punto $x_0 \in I$" (a differenza di quello che accade quando si dà la definizione di funzione continua su un intervallo). Le due proprietà comunque risultano equivalenti (si dimostra).

In certi corsi di Analisi 1 si sceglie di non dare la definizione di funzione convessa in un punto e in tal caso dovresti dimostrare che quella proprietà locale anzidetta implica la convessità su $I$.

[anto_zoolander]

Ah quindi io avendo dimostrato che una funzione è convessa in ogni suo punto, ora devo dimostrare che vale l'equivalenza con il fatto che $f$ sia convessa in tutto un intervallo.

In poche parole devo dimostrare

$f$ convessa in ogni $x_0in I$ se e solo se $f$ è convessa in $I$?

[gugo82]

Scusa, anto_zoolander, ma qual è la definizione di funzione convessa che usi?

Ad ogni modo, $f''>= 0$ in $I$ equivale a $f'$ crescente in $I$, e ti rimane da provare che ciò equivale ad $f$ convessa in $I$.

Suppongo che per te $f$ è convessa solo se essa è derivabile in $I$ ed il suo grafico non giace mai al di sotto delle rette tangenti, i.e. che la disuguaglianza:
\[
f(x)-f(x_0)\geq f^\prime (x_0)\ (x-x_0)
\] vale per ogni \(x,x_0\in I\).

\(\Leftarrow\)) Proviamo che se $f$ è convessa allora $f'$ è crescente.
Prendiamo $x_1< x_2$ e proviamo che $f'(x_1)<= f'(x_2)$.
Per definizione di convessità abbiamo:
\[
\left. \begin{split} f(x_2)-f(x_1) &\geq f^\prime (x_1)\ (x_2-x_1)\\ f(x_1)-f(x_2) &\geq f^\prime (x_2)\ (x_1-x_2) \end{split}\right\}\quad \Rightarrow\quad 0\geq \Big( f^\prime (x_1) - f^\prime (x_2)\Big)\ (x_2-x_1)
\]
che è quanto volevamo.

\(\Rightarrow\)) Proviamo che se $f'$ è crescente in $I$ allora $f$ è convessa.
Scelto $x_0 in I$, consideriamo la funzione deficit:
\[
\Delta (x):= f(x)-f(x_0)-f^\prime (x_0)\ (x-x_0)\; ;
\]
essa ha derivata prima:
\[
\Delta^\prime (x):= f^\prime (x)-f^\prime (x_0)
\]
la quale è $<=0$ [risp. $>=0$] se $x<=x_0$ [risp. $x>=x_0$]. Ne viene che $Delta (x)$ assume il suo minimo assoluto in $x_0$, perciò:
\[
\Delta (x) \geq \Delta (x_0) \quad \Leftrightarrow\quad
f(x)-f(x_0)-f^\prime (x_0)\ (x-x_0) \geq 0\; ,
\]
come volevamo.

[anto_zoolander]

Ciao gugo:-D

La definizione che uso è questa(nell'ipotesi in cui $f$ sia derivabile in un punto $x_0$

Sia $f:I->RR$ una funzione e sia $x_0 inI$ tale che $f$ è derivabile in $x_0$

$f$ si dice convessa in un punto $x_0$ se esiste $existsB(x_0,delta[,delta>0:f(x)geqf(x_0)+f'(x_0)(x-x_0),forall x inB(x_0,delta[capI$

oppure quando $Epi(f)$ è un insieme convesso$

[gugo82]

Immaginavo... Ho inserito una dimostrazione di due righe nel post precedente.

[anto_zoolander]

Perfetto ora leggo

Invece per quanto riguarda il fatto che se $f(x)>0 forallx inI$ allora $f$ è convessa in ogni ogni punto di $I$, è corretta come dimostrazione?

invece volevo chiederti una cosa:
Il mio non dimostra la disuguaglianza di convessità e part solo dal fatto che,
Data una retta passante per due punti $P_1=(x_1,y_1),P_2=(x_2,y_2)$ allora il punto appartiene alla al segmento $P_1P_2$ se e solo se il punto è della forma $P(tx_1+(1-t)x_2,ty_1+(1-t)y_2),foralltin[0,1]$ Ma non riesco proprio a dimostrarlo, non so come approcciarmi al problema.

[gugo82]

Scusa, ma non capisco cosa chiedi in spoiler...