Teorema sui limiti di successioni (continuità del valore ass

[Sk_Anonymous]

Ciao, c'è un teorema sui limiti di successioni che il mio professore ha chiamato "continuità del valore assoluto", che recita così:
Se $a_n$ $ rarr $ $ l in RR $ , allora $|a_n| rarr |l|$
Qualcuno gentilmente sa qual è la dimostrazione?

[Rigel1]

Basta usare la definizione di limite e il fatto che
$||a_n| - |l|| \le |a_n - l|$.

[Sk_Anonymous]

"Rigel":Basta usare la definizione di limite e il fatto che
$||a_n| - |l|| \le |a_n - l|$.

Ciao, sul quaderno c'è scritto quella stessa relazione che hai scritto, ma perchè è vera?

[Rigel1]

In generale, se hai due numeri reali $a$ e $b$, hai che:
$(1) \qquad ||a|-|b|| \le |a-b|$.
Il modo più rapido per capirne il motivo è considerare prima $a$ e $b$ con lo stesso segno (nel qual caso vale l'uguaglianza), poi $a$ e $b$ di segno opposto e vedere cosa succede.

Se invece vuoi una dimostrazione più formale, ti basta usare la proprietà triangolare:
$|a| = |a - b + b| \le |a-b| + |b|$, da cui $|a| - |b| \le |a-b|$;
$|b| = |b - a + a| \le |b-a| + |a|$, da cui $- |b-a| \le |a| - |b|$.
Mettendo insieme queste due ottieni la (1).