Teorema sui limiti delle funzioni composte

[turtle87crociato]

Scusatemi, ho un problema con questo teorema, non riesco a capire alcuni passi, che magari sono anche banali.

Il teorema suddetto mi è stato enunciato così:

Sia $f: X sube RR \to RR$
$g: Y sube RR \to RR$
$A = {x in X : f(x) in Y}$, dominio della funzione $g°f$
$x_0$ di accumulazione per $A$

Se valgono le seguenti ipotesi:

1) $lim_(x->x_0)(f(x)) = y_0$, con $y_0$ di accumulazione per $Y$
$x in A$

2) $lim_(y->y_0)(g(y)) = l$, con $l in \bar RR$

3) $EE$ un intorno $I_0$ di $x_0$ tale che $AA x in I nn x \ {x_0}$, $f(x) != y_0$

Ho bisogno di capire meglio delle cose, sulle ipotesi. E' meglio, a mio avviso, che posti la dimostrazione in mio possesso per partire da lì.

Consideriamo un intorno $I'$ di $l$. In base all'ipotesi 2, abbiamo che $EE$ un intorno J di $y_0$ tale che $AA y in J nn X \{y_0}$, $g(y) in I'$.
In base all'ipotesi 1, abbiamo che $EE$ un intorno $K$ di $x_0$ tale che $AA x in K nn X\ {x_0}$, $f(x) in J$, e mi viene detto che è da qui che scaturisce l'ipotesi numero 3, per continuare il discorso che mi porta, ponendo $I = K nn I_0$, a vedere che
$AA x in I nn A \ {x_0}, g(f(x)) in I'$, c. v. d.

Io non ho capito il processo utilizzato dal punto in cui viene introdotta l'ipotesi numero 3. Chi mi aiuta?

[Bob_inch]

Per definizione stessa di limite. La tua funzione $g$ opera sugli elementi appartententi ad $f(X)$. Se ora tu volessi far tendere $g$ ad un elemento, diciamo, $y_0$, con $y_0 in DX$, si deve avere $y=f(x) !=y_0$. E' come quando poni nella def. di limite $x !=x_0$.
Spero di esserti stato d'aiuto.

[Leonardo891]

Ciao
Senti ma quelli che hai postato sono gli appunti che hai preso a lezione?
Comunque ci credo che non hai capito alcune cose, ciò che hai postato è solo una "bozza" della dimostrazione. Inoltre, il teorema non è nella forma più generale.
Dicendolo a parole in modo informale (in quanto non ho voglia di scrivere tutto ) funziona così: le ipotesi 1) e 2), ossia la conoscenza dei due limiti, non ti danno alcuna informazione su come si comporta g(y) quando $ y= y_0 $. Per questo, poni l'ipotesi 3, ossia proibisci che la f assuma il valore $ y_0 $. Questo, comunque, non è l'unico modo possibile. L'ipotesi 3 può essere sostituita da un'altra (anzi potrebbero anche valere entrambe): $y_0 \in Y ^^ g(y_0)=l $ (dove Y = dominio di g) ossia, dato che $y_0$ è di accumulazione, g è continua in y_0.
Ti consiglio di non affidarti solo agli appunti e di studiarti il teorema su di un buon libro (serio).
Se poi hai problemi vedrò di postarti il teorema ed in caso la dimostrazione.