Teorema sugli spazi vettoriali
Come faccio a dimostrare che "i sottospazi vettoriali normati di dimensione finita sono tutti chiusi", usando la proprietà che "negli spazi vettoriali normati di dimensione finita, tutte le norme sono equivalenti"?
Risposte
Prova a mostrare che i sottospazi di dimensione finita sono sempre completi rispetto a qualche norma. L'equivalenza di questa norma con quella originaria dello spazio normato farà il resto.
Scusa puoi darmi una risposta più dettagliata, magari indicandomi un testo dove posso vedere. Grazie.
Prendi [tex]X[/tex] uno spazio normato e [tex]M[/tex] un sottospazio di dimensione finita, una cui base chiama [tex]e_1 \ldots e_n[/tex]. Puoi dotare [tex]M[/tex] di struttura di spazio di Banach introducendo la norma [tex]\lVert \lambda_1 e_1 + \ldots + \lambda_n e_n \rVert_M= \sqrt{\lvert\lambda_1\rvert^2+\ldots+\lvert \lambda_n \rvert^2}[/tex] (è una delle tante possibilità, per esercizio puoi provare a trovarne altre). Questa norma è ben definita perché [tex]e_1\ldots e_n[/tex] è una base.
Ora usa l'equivalenza delle norme. Detta [tex]\lVert \cdot \rVert[/tex] la norma di [tex]X[/tex], essa si restringe ad una norma equivalente a [tex]\lVert \cdot \rVert_M[/tex]: in particolare [tex]M[/tex] è di Banach anche rispetto alla norma [tex]\lVert \cdot \rVert[/tex].
Hai quindi un sottospazio completo di uno spazio normato: non è difficile mostrare che esso è necessariamente chiuso.
A te il compito di mettere a punto i dettagli. Io ti consiglio di prenderti un po' di tempo per farlo e per rifletterci bene, perché questo esercizio è molto utile a familiarizzare con gli spazi normati.
Ora usa l'equivalenza delle norme. Detta [tex]\lVert \cdot \rVert[/tex] la norma di [tex]X[/tex], essa si restringe ad una norma equivalente a [tex]\lVert \cdot \rVert_M[/tex]: in particolare [tex]M[/tex] è di Banach anche rispetto alla norma [tex]\lVert \cdot \rVert[/tex].
Hai quindi un sottospazio completo di uno spazio normato: non è difficile mostrare che esso è necessariamente chiuso.
A te il compito di mettere a punto i dettagli. Io ti consiglio di prenderti un po' di tempo per farlo e per rifletterci bene, perché questo esercizio è molto utile a familiarizzare con gli spazi normati.
Io veramente persavo di usare il th che collega insieme chiusi e successioni convergenti. Visto poi che ogni sottospazio è descritto da una equazione del tipo T(x)=0, la tesi è immmediata.
Non mi convince. Il fatto che ogni sottospazio è di tipo $T(x)=0$ vale solo negli spazi di dimensione finita. Magari prova a scrivere più nel dettaglio la tua dimostrazione e appena ho un minuto dò un'occhiata.
Ma io infatti devo dimostrare che "i sottospazi vettoriali normati DI DIMENSIONE FINITA sono tutti chiusi".
Dim.
Consideriamo un sottospazio di R a k in cui è definita la norma euclidea. Siccome i sottospazi di R a k di dimensione finita sono caratterizzati da equazioni del tipo T(x)=0; ovviamente, se {x_n} è una successione di elementi di R a k convergente ad un punto z, si ha che T (z)=0 , quindi il sottospazio è chiuso. Dall'equivalenza delle norme segue l'asserto
Dim.
Consideriamo un sottospazio di R a k in cui è definita la norma euclidea. Siccome i sottospazi di R a k di dimensione finita sono caratterizzati da equazioni del tipo T(x)=0; ovviamente, se {x_n} è una successione di elementi di R a k convergente ad un punto z, si ha che T (z)=0 , quindi il sottospazio è chiuso. Dall'equivalenza delle norme segue l'asserto
No, guarda, è tutto sbagliato. Intanto devi dimostrare che un sottospazio $M$, di dimensione finita, di uno spazio $X$ (anche di dimensione infinita [size=75](*)[/size]) è chiuso in $X$, ne sono sicuro e il motivo lo spiego più avanti. Ma ipotizziamo pure che tu possa prendere anche $X$ di dimensione finita. La tua dimostrazione comunque è fallata: chi ti ha detto che $T$ è continua? E' vero, non dico di no, ma lo devi dimostrare.
In ogni caso, non ti accorgi che non hai usato in nessun punto l'equivalenza delle norme? Non ti suona strano questo fatto? Per questo, sono sicuro che l'enunciato da dimostrare è quello di inizio post, ovvero quello di cui parlavo negli altri miei interventi.
_____________
[size=75](*)[/size]Ti faccio notare che uno spazio normato di dimensione infinita può tranqullamente avere sottospazi di dimensione finita. Esempio: prendiamo lo spazio normato $X=C[0, 1]$ con la norma $||u||_infty="max"_{x\in[0, 1]}|u(x)|$. Consideriamo il sottoinsieme $M={\lambda+\mu x\ :\ \lambda, \mu \in RR}$: si tratta di un sottospazio vettoriale una cui base è ${1, x}$. Il teorema in questione asserisce che $M$ è un sottoinsieme chiuso di $X$.
In ogni caso, non ti accorgi che non hai usato in nessun punto l'equivalenza delle norme? Non ti suona strano questo fatto? Per questo, sono sicuro che l'enunciato da dimostrare è quello di inizio post, ovvero quello di cui parlavo negli altri miei interventi.
_____________
[size=75](*)[/size]Ti faccio notare che uno spazio normato di dimensione infinita può tranqullamente avere sottospazi di dimensione finita. Esempio: prendiamo lo spazio normato $X=C[0, 1]$ con la norma $||u||_infty="max"_{x\in[0, 1]}|u(x)|$. Consideriamo il sottoinsieme $M={\lambda+\mu x\ :\ \lambda, \mu \in RR}$: si tratta di un sottospazio vettoriale una cui base è ${1, x}$. Il teorema in questione asserisce che $M$ è un sottoinsieme chiuso di $X$.
[mod="dissonance"]Spook, hai ormai superato i 30 messaggi. Ti ricordo (cfr. regolamento §3.6b) che per te è divenuto obbligatorio l'uso di una scrittura appropriata per le formule (clic per istruzioni). Grazie per l'attenzione.[/mod]
T è continua in quanto applicazione lineare fra spazi normati di dimensione finita. Poi c'è un teorema che dice che :"Un sottoinsieme X di R a k è chiuso se e solo se ogni successione di elementi di X convergente, ha limite in X". Inoltre, una volta visto che questo sottoinsieme è chiuso perchè T(z)=0, si usa l'equivalenza tra le norme di sottospazi di dimensione finita, per cui si può dire che se il sottospazio che abbiamo trovato è chiuso in una data norma, siccome la dimensione è finita, lo sarà in tutte le norme. Ti pregherei di leggere meglio le risposte che fornisco.
MODERATORE: Uso le formule se ne ho bisogno!!
MODERATORE: Uso le formule se ne ho bisogno!!
Ti sei convinto che la traccia dell'esercizio vada interpretata come dici tu, allora non starò certo a dannarmi per farti cambiare idea, fai pure.
"Spook":
MODERATORE: Uso le formule se ne ho bisogno!!
[mod="Fioravante Patrone"]Mi spiace, non si risponde così a un moderatore.
Un giorno di stop. Per ora.[/mod]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo