Teorema successioni convergenti
Salve scusate se rompo con queste dimostrazioni banali ma il teorema "Se una successione è convergente allora è limitata" sul mio libro è dimostrata con la disequazione triangolare mentre la mia professoressa ha utilizato questo metodo:
Preso \( \varepsilon = 1\space\space l-1
\\
B=\{b_0,b_1,b_2,b_\nu - _1,l+1 \} \)
sia m=min(A) e M=max(B)
se \( n<\nu \) allora \( a_n \in A \Rightarrow m=minA \leq a_n \)
se \( n \geq \nu \) allora \( a_n>l-1\space e\space l-1 \in A \Rightarrow m=\min(A) \leq l-1< a_n \)
quindi \( \forall n \in N, m\leq a_n \)
stesso ragionamento per b solo che si dimostra \(\forall n \in N, M\geq a_n\)
quindi in definitiva \(m \leq a_n \leq M\)
non riesco a capire la logica nel dividere la succissione in due insiemi
garzie
Preso \( \varepsilon = 1\space\space l-1
\\
B=\{b_0,b_1,b_2,b_\nu - _1,l+1 \} \)
sia m=min(A) e M=max(B)
se \( n<\nu \) allora \( a_n \in A \Rightarrow m=minA \leq a_n \)
se \( n \geq \nu \) allora \( a_n>l-1\space e\space l-1 \in A \Rightarrow m=\min(A) \leq l-1< a_n \)
quindi \( \forall n \in N, m\leq a_n \)
stesso ragionamento per b solo che si dimostra \(\forall n \in N, M\geq a_n\)
quindi in definitiva \(m \leq a_n \leq M\)
non riesco a capire la logica nel dividere la succissione in due insiemi
garzie
Risposte
A parte che a mio avviso non è corretta la notazione, non vedo perché dare nomi differenti agli stessi elementi visto che per forza di cose $a_0=b_0$ e così via, a parte ciò è una logica abbastanza semplice... allora tu sai per certo che dall'indice $\nu$ in poi tutti gli elementi della successione sono limitati inferiormente da $l-1$ e superiormente da $l+1$ per concludere ti serve dimostrare che la successione è limitata anche per gli indici precedenti a $\nu$ ...
però ripeto a mio avviso gli insiemi dovevano essere definiti così:
$$
A={ a_0, a_1,\cdots, a_{\nu-1}, l-1}
\\
B={ a_0, a_1,\cdots, a_{\nu-1}, l+1}
$$
però ripeto a mio avviso gli insiemi dovevano essere definiti così:
$$
A={ a_0, a_1,\cdots, a_{\nu-1}, l-1}
\\
B={ a_0, a_1,\cdots, a_{\nu-1}, l+1}
$$
ma prima di nhi i punti della successione non sono "sparsi"? mi sa che ho confuso limitata con limite durante i ragionamenti. Quindi in definitiva per n>=nhi è limitata mentre per n
Cosa intendi con "sparsi" ?
Beh è intuitivo si...
Conta però che in generale nessuno ti dice che l'insieme dei valori di una successione ammetta massimo o minimo ed il punto è proprio questo, la dimostrazione verte sul fatto che per una successione convergente è possibile dimostrare che esiste un massimo ed un minimo dei valori assunti dalla successione.
Comunque questo è un teorema abbastanza banale quindi c'è poco di cui parlare, diciamo che il punto è che la limitatezza per $n\ge \nu$ è ovvia perché fa parte della definizione di successione convergente, il resto della dimostrazione in sostanza è una precisazione abbastanza ovvia, cioè in soldoni ti sta dicendo guarda dato che hai scelto $\epsilon=1$ allora $\nu$ potrebbe essere maggiore di zero ad esempio potrebbe essere 100 quindi gli elementi della successione $n>100$ sono limitati da $l-1$ e $l+1$ mentre i primi elementi potrebbero essere più grandi o più piccoli di quei due valori, però sono un numero finito di elementi quindi ci sarà un valore massimo ed uno minimo... tutto qui...
Beh è intuitivo si...
Conta però che in generale nessuno ti dice che l'insieme dei valori di una successione ammetta massimo o minimo ed il punto è proprio questo, la dimostrazione verte sul fatto che per una successione convergente è possibile dimostrare che esiste un massimo ed un minimo dei valori assunti dalla successione.
Comunque questo è un teorema abbastanza banale quindi c'è poco di cui parlare, diciamo che il punto è che la limitatezza per $n\ge \nu$ è ovvia perché fa parte della definizione di successione convergente, il resto della dimostrazione in sostanza è una precisazione abbastanza ovvia, cioè in soldoni ti sta dicendo guarda dato che hai scelto $\epsilon=1$ allora $\nu$ potrebbe essere maggiore di zero ad esempio potrebbe essere 100 quindi gli elementi della successione $n>100$ sono limitati da $l-1$ e $l+1$ mentre i primi elementi potrebbero essere più grandi o più piccoli di quei due valori, però sono un numero finito di elementi quindi ci sarà un valore massimo ed uno minimo... tutto qui...
ora è tutto chiaro graazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo