Teorema scambio limite con derivata
Sto studiando la dimostrazione di questo teorema ma c'è un passaggio che non mi è del tutto chiaro.
il teorema è questo:
Sia data una successione ${f_n(t)}$ di funzioni derivabili con derivata continua nell'intervallo $[a,b]$. Se la successione ${f_n(t)}$ converge ad una funzione $f(t)$, e se la successione delle derivate ${f'_n(t)}$ converge uniformemente in $[a,b]$, allora $f(t)$ è derivabile e si ha
$\lim_{n \to \infty}f'_n(t)=f'(t)$ $AA t in (a,b)$
La dimostrazione inizia così:
Siccome $f'_n(t)$ è continua, allora è integrabile.
Per cui avremo
$f_n(t)=f_n(a)+ \int_{a}^{t} f'_n(\tau) d\tau$
quello che di cui non sono sicura è la motivazione di questo primo passaggio, perché poi il resto viene tutto di conseguenza.
ho pensato che sviluppando potrebbe essere così:
$ \int_{a}^{t} f'_n(\tau) d\tau=f_n(t)-f_n(a)$
quindi
$f_n(t)=f_n(a)+f_n(t)-f_n(a)$
il teorema è questo:
Sia data una successione ${f_n(t)}$ di funzioni derivabili con derivata continua nell'intervallo $[a,b]$. Se la successione ${f_n(t)}$ converge ad una funzione $f(t)$, e se la successione delle derivate ${f'_n(t)}$ converge uniformemente in $[a,b]$, allora $f(t)$ è derivabile e si ha
$\lim_{n \to \infty}f'_n(t)=f'(t)$ $AA t in (a,b)$
La dimostrazione inizia così:
Siccome $f'_n(t)$ è continua, allora è integrabile.
Per cui avremo
$f_n(t)=f_n(a)+ \int_{a}^{t} f'_n(\tau) d\tau$
quello che di cui non sono sicura è la motivazione di questo primo passaggio, perché poi il resto viene tutto di conseguenza.
ho pensato che sviluppando potrebbe essere così:
$ \int_{a}^{t} f'_n(\tau) d\tau=f_n(t)-f_n(a)$
quindi
$f_n(t)=f_n(a)+f_n(t)-f_n(a)$
Risposte
"Tagliafico":
\[ f(t)=f(a)+ \int_{a}^{t} f'(\tau) d\tau, \qquad t\in [a,b] \]
Quest'uguaglianza vale per ogni \( f\in C^1 ([a,b]) \) e discende, in buona sostanza, dal teorema di Torricelli.
Considera infatti la funzione \( g(t) := f(a)+ \int_{a}^{t} f'(\tau) d\tau\), \( t\in [a,b] \).
Poiché $f'$ è continua, per il Teorema di Torricelli $g$ è di classe $C^1$ e la sua derivata vale $g'(t) = f'(t)$ per ogni $t\in [a,b]$.
Dunque $f$ e $g$ sono due funzioni derivabili in $[a,b]$ con derivata uguale, e di conseguenza differiscono per una costante.
Ma $g(a) = f(a)$, cosicché questa costante è nulla e dunque $g=f$.
"Rigel":
[quote="Tagliafico"]
\[ f(t)=f(a)+ \int_{a}^{t} f'(\tau) d\tau, \qquad t\in [a,b] \]
Quest'uguaglianza vale per ogni \( f\in C^1 ([a,b]) \) e discende, in buona sostanza, dal teorema di Torricelli.
Considera infatti la funzione \( g(t) := f(a)+ \int_{a}^{t} f'(\tau) d\tau\), \( t\in [a,b] \).
Poiché $f'$ è continua, per il Teorema di Torricelli $g$ è di classe $C^1$ e la sua derivata vale $g'(t) = f'(t)$ per ogni $t\in [a,b]$.
Dunque $f$ e $g$ sono due funzioni derivabili in $[a,b]$ con derivata uguale, e di conseguenza differiscono per una costante.
Ma $g(a) = f(a)$, cosicché questa costante è nulla e dunque $g=f$.[/quote]
Aspetta...allora, il teorema di Torricelli dice
Il teorema di Torricelli-Barrow (come l'hai enunciato tu) dice che se hai una funzione f definita su un intervallo I e continua in ogni punto dell'intervallo, allora f è primitivabile (cioè è dotata di primitiva).
quindi sarebbe che $g'(t)$ è una primitiva di $f'(t)$???
non capisco da dove tiriamo fuori questa $g$
perchè anche nella dimostrazione che ho, dopo il passaggio che ho scritto prende una funzione $g$ e la definisce in questo modo:
$g(\tau)=\lim_{n \to \infty}f'_n(\tau)$
@Tagliafico: Conosci il teorema fondamentale del Calcolo Integrale?
Se lo conoscessi, capire quel passaggio non ti risulterebbe troppo complicato.
Invece, capire perché si sfrutta quella relazione è immediato: infatti il TFCI è un bello strumento che ti consente di collegare una funzione con la sua derivata, quindi di stabilire dei collegamenti tra le proprietà della successione delle derivate con quelle della successione originaria.
Se lo conoscessi, capire quel passaggio non ti risulterebbe troppo complicato.
Invece, capire perché si sfrutta quella relazione è immediato: infatti il TFCI è un bello strumento che ti consente di collegare una funzione con la sua derivata, quindi di stabilire dei collegamenti tra le proprietà della successione delle derivate con quelle della successione originaria.
"gugo82":
@Tagliafico: Conosci il teorema fondamentale del Calcolo Integrale?
Se lo conoscessi, capire quel passaggio non ti risulterebbe troppo complicato.
Invece, capire perché si sfrutta quella relazione è immediato: infatti il TFCI è un bello strumento che ti consente di collegare una funzione con la sua derivata, quindi di stabilire dei collegamenti tra le proprietà della successione delle derivate con quelle della successione originaria.
mmm...
dunque, il teorema del calcolo dice che presa $f:[a,b]->R$ continua, allora definita
$F'(x)=\int_{a}^{t} f(t) dt$
si ha che $F(x)$ è derivabile in $[a,b]$ e $F'(x)=f(x)$
quindi nel mio teorema ho $f'_n(t)$ continua. per cui avrò che esiste per definizione una
$F'(t)=\int_{a}^{t} f'_n(\tau) d\tau$ dove $F(t)$ è la primitiva di $f'_n(\tau)$
quindi per il teorema avrei che $F'(t)=f(t)$
quindi dovrei avere
$f(t)=\int_{a}^{t} f(\tau) d\tau$
ma $\int_{a}^{t} f(\tau) d\tau=f(t)-f(a)$ quindi $f(t)+c$ con $c$ che sia una costante, per cui $F'(t)=f(t)+c$
dunque
$F'(t)=f(t)=c+\int_{a}^{t} f(\tau) d\tau=f(a)+\int_{a}^{t} f(\tau) d\tau$
...però c'è sempre qualcosa che non va..
Questa è una versione del TFCI che ricordo
In particolare, da ciò segue che ogni funzione \(U\) di classe \(C^1\) in \([a,b]\) si rappresenta come integrale della sua derivata al seguente modo:
\[U(x)=U(x_0)+\int_{x_0}^x U^\prime (t)\ \text{d} t\]
ove \(x_0\) è un qualsiasi punto di \([a,b]\).
In altre parole, per individuare e rappresentare una funzione \(C^1\) basta conoscerne il valore che essa assume in un punto fissato e la sua derivata prima.
Nel tuo caso basta prendere di volta in volta \(U=f_n\).
Sia \(u:[a,b]\to \mathbb{R}\) continua.
Comunque si fissino \(U_0\in \mathbb{R}\) ed \(x_0\in [a,b]\), la funzione integrale \(U\) definita in \([a,b]\) ponendo:
\[U(x):=U_0+\int_{x_0}^x u(t)\ \text{d} t\]
è una funzione continua e derivabile; inoltre essa è una primitiva di \(u\) (ossia risulta \(U^\prime =u\)), ed è l'unica primitiva tale che \(U(x_0)=U_0\).
In particolare, da ciò segue che ogni funzione \(U\) di classe \(C^1\) in \([a,b]\) si rappresenta come integrale della sua derivata al seguente modo:
\[U(x)=U(x_0)+\int_{x_0}^x U^\prime (t)\ \text{d} t\]
ove \(x_0\) è un qualsiasi punto di \([a,b]\).
In altre parole, per individuare e rappresentare una funzione \(C^1\) basta conoscerne il valore che essa assume in un punto fissato e la sua derivata prima.
Nel tuo caso basta prendere di volta in volta \(U=f_n\).
"gugo82":
Questa è una versione del TFCI che ricordo
Sia \(u:[a,b]\to \mathbb{R}\) continua.
Comunque si fissino \(U_0\in \mathbb{R}\) ed \(x_0\in [a,b]\), la funzione integrale \(U\) definita in \([a,b]\) ponendo:
\[U(x):=U_0+\int_{x_0}^x u(t)\ \text{d} t\]
è una funzione continua e derivabile; inoltre essa è una primitiva di \(u\) (ossia risulta \(U^\prime =u\)), ed è l'unica primitiva tale che \(U(x_0)=U_0\).
In particolare, da ciò segue che ogni funzione \(U\) di classe \(C^1\) in \([a,b]\) si rappresenta come integrale della sua derivata al seguente modo:
\[U(x)=U(x_0)+\int_{x_0}^x U^\prime (t)\ \text{d} t\]
ove \(x_0\) è un qualsiasi punto di \([a,b]\).
In altre parole, per individuare e rappresentare una funzione \(C^1\) basta conoscerne il valore che essa assume in un punto fissato e la sua derivata prima.
Nel tuo caso basta prendere di volta in volta \(U=f_n\).
ah ecco, mi mancava questa definizione.
\[U(x):=U_0+\int_{x_0}^x u(t)\ \text{d} t\]
ora è chiaro ^^ grazie infinite!!
Ciao!
Legato al teorema dello scambio del limite con la derivata c'è il teorema dello scambio tra limiti.
cosa dice? dice che
Sia $l_n in R$ e $f_n,f:A\to\R$ e $t_0$ punto di accumulazione per $A$
Allora, posto che
i)$\lim_{n \to \infty}f_n(t)=f(t)$ uniformemente in $A$
ii)$\lim_{t \to \t_0}f_n(t)=l_n$
allora esistono finiti $\lim_{t \to \t_0}f(t)=\lim_{n \to \infty}l_n$
ora, come lo dimostro?
innanzitutto dico che devo dimostrare che i due limiti coincidono. quindi innanzitutto devo dimostrare che uno dei due limiti effettivamente esiste. scelgo di dimostrare che $l_n$ converge, per cui dimostro facilmente che si tratta di una successione di Cauchy.
lo faccio in questo modo:
se $l_n$ è di Cauchy, vuol dire che $AA \epsilon>0 EEN_\epsilon:n,m>=N_\epsilon$ allora $|l_n-l|<\epsilon$
quindi devo dimostrare che vale l'ultima disuguaglianza.
aggiungendo e togliendo delle quantità e sfruttando le ipotesi i) e ii) dimostro che effettivamente $|l_n-l|<\epsilon$
devo ora dimostrare che i limiti di $l_n$ e $f(t)$ coincidono.
per cui voglio dimostrare che $|f(t)-l|<\epsilon$
a questo punto il libro scrive questo:
Fissato $\epsilon>0$ sia $N=N_\epsilon$ tale che $AA t in A:|f(t)-f_N(t)|<\epsilon $ e $|l_N-l|<\epsilon$
bene. non capisco chi mi assicura di poter fare questo passaggio.
non riesco a capire cosa mi permette di affermare che vale questa proprietà.
il resto della dimostrazione, posto questo pezzetto per vero, è ovvia, in quanto si tratta solo di aggiungere e togliere $f_N(t)$ e $l_N$ e spezzare la disuguaglianza usando lo stesso ragionamento del primo limite. per cui non da altri problemi.
Legato al teorema dello scambio del limite con la derivata c'è il teorema dello scambio tra limiti.
cosa dice? dice che
Sia $l_n in R$ e $f_n,f:A\to\R$ e $t_0$ punto di accumulazione per $A$
Allora, posto che
i)$\lim_{n \to \infty}f_n(t)=f(t)$ uniformemente in $A$
ii)$\lim_{t \to \t_0}f_n(t)=l_n$
allora esistono finiti $\lim_{t \to \t_0}f(t)=\lim_{n \to \infty}l_n$
ora, come lo dimostro?
innanzitutto dico che devo dimostrare che i due limiti coincidono. quindi innanzitutto devo dimostrare che uno dei due limiti effettivamente esiste. scelgo di dimostrare che $l_n$ converge, per cui dimostro facilmente che si tratta di una successione di Cauchy.
lo faccio in questo modo:
se $l_n$ è di Cauchy, vuol dire che $AA \epsilon>0 EEN_\epsilon:n,m>=N_\epsilon$ allora $|l_n-l|<\epsilon$
quindi devo dimostrare che vale l'ultima disuguaglianza.
aggiungendo e togliendo delle quantità e sfruttando le ipotesi i) e ii) dimostro che effettivamente $|l_n-l|<\epsilon$
devo ora dimostrare che i limiti di $l_n$ e $f(t)$ coincidono.
per cui voglio dimostrare che $|f(t)-l|<\epsilon$
a questo punto il libro scrive questo:
Fissato $\epsilon>0$ sia $N=N_\epsilon$ tale che $AA t in A:|f(t)-f_N(t)|<\epsilon $ e $|l_N-l|<\epsilon$
bene. non capisco chi mi assicura di poter fare questo passaggio.
non riesco a capire cosa mi permette di affermare che vale questa proprietà.
il resto della dimostrazione, posto questo pezzetto per vero, è ovvia, in quanto si tratta solo di aggiungere e togliere $f_N(t)$ e $l_N$ e spezzare la disuguaglianza usando lo stesso ragionamento del primo limite. per cui non da altri problemi.
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