Teorema radice multipla di un polinomio
Ciao a tutti!
Non capisco l'enunciato del seguente teorema, qualcuno saprebbe spiegarmelo perfavore?
Condizione necessaria e sufficiente perché $x_0$ sia una radice multipla (di ordine k) di un polinomio $P(x) = \sum_{n=0}^\N\a_n*x^n$ è che sia:
$ P(x_0)= P'(x_0)= ... = P^(k-1) (x_0) = 0$ , $ P^(k) (x_0) != 0$
Non capisco l'enunciato del seguente teorema, qualcuno saprebbe spiegarmelo perfavore?
Condizione necessaria e sufficiente perché $x_0$ sia una radice multipla (di ordine k) di un polinomio $P(x) = \sum_{n=0}^\N\a_n*x^n$ è che sia:
$ P(x_0)= P'(x_0)= ... = P^(k-1) (x_0) = 0$ , $ P^(k) (x_0) != 0$
Risposte
Teorema fondamentale dell'algebra
Ciao CLaudio Nine,
Attenzione che il polinomio è scritto male, perché ovviamente è $ P(x) = \sum_{n=0}^\N a_n x^n $
Attenzione che il polinomio è scritto male, perché ovviamente è $ P(x) = \sum_{n=0}^\N a_n x^n $
@CLaudio Nine: Cosa non ti è chiaro?
Conosci le definizioni delle nozioni coinvolte nell’enunciato?
Conosci le definizioni delle nozioni coinvolte nell’enunciato?
"pilloeffe":
Ciao CLaudio Nine,
Attenzione che il polinomio è scritto male, perché ovviamente è $ P(x) = \sum_{n=0}^\N a_n x^n $
Hai ragione correggo subito
"gugo82":
@CLaudio Nine: Cosa non ti è chiaro?
Conosci le definizioni delle nozioni coinvolte nell’enunciato?
Ciao ! Non so crearmi un esempio per figurarmi la cosa, né capire perché questo accada.
Cosa c'entra un esempio?
Quali sono le definizioni?
Quali sono le definizioni?
Claudio, io sospetto che tu non abbia capito le basi del ragionamento matematico, e credo che Gugo abbia la stessa opinione.
La PRIMA cosa da fare è prendere la definizione e capirla bene. POI si passa a fare una dimostrazione.
Tu invece ti butti a dimostrare cose senza definirle, il che è una contraddizione in termini. Per questo non vai mai da nessuna parte.
La PRIMA cosa da fare è prendere la definizione e capirla bene. POI si passa a fare una dimostrazione.
Tu invece ti butti a dimostrare cose senza definirle, il che è una contraddizione in termini. Per questo non vai mai da nessuna parte.
"dissonance":
Claudio, io sospetto che tu non abbia capito le basi del ragionamento matematico, e credo che Gugo abbia la stessa opinione.
La PRIMA cosa da fare è prendere la definizione e capirla bene. POI si passa a fare una dimostrazione.
Tu invece ti butti a dimostrare cose senza definirle, il che è una contraddizione in termini. Per questo non vai mai da nessuna parte.
Penso che tu abbia ragione.
Ad ogni modo, non mi è chiaro l'enunciato, quindi cosa vi è scritto "in matematichese" nel mio post
.$x_0$ è una radice (o soluzione) del polinomio se il valore che ottengo sostituendo $x_0$ nel polinomio e nelle sue derivate (fino alla derivata $k-1$ ) è uguale a zero.
Se sostituisco $x_0$ nella derivata "k-esima" il valore è diverso da zero.
Come mai questo accade? Qual è la derivata k-esima?
Chiedo scusa per la mia immensa ignoranza!
"gugo82":
Cosa c'entra un esempio?
Quali sono le definizioni?
Ciao gugo82,
non mi è chiaro l'enunciato, quindi cosa vi è scritto "in matematichese" nel mio post
.$x_0$ è una radice (o soluzione) del polinomio se il valore che ottengo sostituendo $x_0$ nel polinomio e nelle sue derivate (fino alla derivata $k−1$ ) è uguale a zero.
Se sostituisco $x_0$ nella derivata "k-esima" il valore è diverso da zero.
Come mai questo accade? Qual è la derivata k-esima?
Chiedo scusa per la mia immensa ignoranza!
No, no, no, niente "matematichese", devi scrivere matematica. Sono dieci post che scrivi, ma ancora non hai detto l'unica cosa che dovevi dire, e che Gugo e io ti chiediamo da giorni:
Qual è la definizione di "radice multipla" di un polinomio?
Scrivi bene, senza fretta. Inizia così: Definizione. Sia \(P\) un polinomio e \(x_0\in\mathbb R\). Si dice che \(x_0\) è una radice di ordine \(k\) di \(P\) se...
Qual è la definizione di "radice multipla" di un polinomio?
Scrivi bene, senza fretta. Inizia così: Definizione. Sia \(P\) un polinomio e \(x_0\in\mathbb R\). Si dice che \(x_0\) è una radice di ordine \(k\) di \(P\) se...
"dissonance":
No, no, no, niente "matematichese", devi scrivere matematica. Sono dieci post che scrivi, ma ancora non hai detto l'unica cosa che dovevi dire, e che Gugo e io ti chiediamo da giorni:
Qual è la definizione di "radice multipla" di un polinomio?
Scrivi bene, senza fretta. Inizia così: Definizione. Sia \(P\) un polinomio e \(x_0\in\mathbb R\). Si dice che \(x_0\) è una radice di ordine \(k\) di \(P\) se...
Ciao dissonance,
Ti ringrazio innanzitutto per la tua pazienza.
La radice di un polinomio è quel valore che annulla il polinomio, ovvero che, se sostituito alle x, rende il polinomio uguale a zero.
Tale radice (o soluzione) si dice multipla se ha molteplicità maggiore di 1, ovvero se "annulla" più volte il polinomio.
Esempio: $P(x)= x^4 - x^2 = x*x*(x^2-1) $
La radice $0$ annulla due volte il polinomio $P(x)$, ha dunque molteplicità 2.
$0$ è una radice multipla.
Infatti, dal teorema enunciato inizialmente:
$P'(x)= 4x^3 - 2x$
$P'(0)= 0$
$P''(x)= 12x^2 - 2$
$P''(0) != 0 $
Penso di esserci fino a qua e spero di non aver detto eresie.
Ad ogni modo, non capisco come mai questo accada.
Il mio polinomio $P(x)$ posso riscriverlo come:
$P(x)= (x-x_0)^k * Q $
Derivando:
$P'(x)= k*(x-x_0)^(k-1) * Q + (x-x_0)^k* Q'$
Da qui in poi non so come spiegarmi l'enunciato.
Definizione:
ciò implica che esiste un polinomio $q(x)$ di grado $text(grad) (p) - k$ tale che:
\[
\begin{split}
q(x) &\text{ non è divisibile per } x - x_0 \text{, cioè t.c. } q(x_0) \neq 0\\
p(x) &= (x - x_0)^k\ q(x)\; .
\end{split}
\]
In linguaggio informale, dire che $x_0$ è uno zero d’ordine $k$ per $p(x)$ equivale a dire che nella scomposizione in fattori di $p(x)$ compare la potenza $(x - x_0)^k$.
Detto ciò, la dimostrazione del tuo teorema si fa sfruttando la formula di Leibniz per le derivate successive di un prodotto:
\[
D^{(n)} [f(x)\cdot g(x)] = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}\ f^{(i)}(x)\cdot g^{(n-i)}(x) \; .
\]
Prova.
Si dice che un polinomio $p(x)$ ha uno zero (o una radice) di molteplicità $k >= 1$ in $x_0$, o che $x_0$ è uno zero di $p(x)$ di molteplicità $k$ se e solo se $p(x)$ è divisibile per $(x - x_0)^k$ ma non è divisibile per $(x - x_0)^(k + 1)$.
ciò implica che esiste un polinomio $q(x)$ di grado $text(grad) (p) - k$ tale che:
\[
\begin{split}
q(x) &\text{ non è divisibile per } x - x_0 \text{, cioè t.c. } q(x_0) \neq 0\\
p(x) &= (x - x_0)^k\ q(x)\; .
\end{split}
\]
In linguaggio informale, dire che $x_0$ è uno zero d’ordine $k$ per $p(x)$ equivale a dire che nella scomposizione in fattori di $p(x)$ compare la potenza $(x - x_0)^k$.
Detto ciò, la dimostrazione del tuo teorema si fa sfruttando la formula di Leibniz per le derivate successive di un prodotto:
\[
D^{(n)} [f(x)\cdot g(x)] = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}\ f^{(i)}(x)\cdot g^{(n-i)}(x) \; .
\]
Prova.
"gugo82":
Definizione:
Si dice che un polinomio $p(x)$ ha uno zero (o una radice) di molteplicità $k >= 1$ in $x_0$, o che $x_0$ è uno zero di $p(x)$ di molteplicità $k$ se e solo se $p(x)$ è divisibile per $(x - x_0)^k$ ma non è divisibile per $(x - x_0)^(k + 1)$.
ciò implica che esiste un polinomio $q(x)$ di grado $text(grad) (p) - k$ tale che:
\[
\begin{split}
q(x) &\text{ non è divisibile per } x - x_0 \text{, cioè t.c. } q(x_0) \neq 0\\
p(x) &= (x - x_0)^k\ q(x)\; .
\end{split}
\]
In linguaggio informale, dire che $x_0$ è uno zero d’ordine $k$ per $p(x)$ equivale a dire che nella scomposizione in fattori di $p(x)$ compare la potenza $(x - x_0)^k$.
Detto ciò, la dimostrazione del tuo teorema si fa sfruttando la formula di Leibniz per le derivate successive di un prodotto:
\[
D^{(n)} [f(x)\cdot g(x)] = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}\ f^{(i)}(x)\cdot g^{(n-i)}(x) \; .
\]
Prova.
Sono stato via un po' di giorni, mi cimento subito! Grazie gugo
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