Teorema "alternativo" di Rolle.

[Kashaman]

Salve ragazzi, ho il seguente problema :

Sia $f : [a,+\infty[ ->RR$ continua e derivabile in $]a,+\infty[$. Supponiamo che per $x->+\infty => f(x) -> f(a)$. Allora $EE \omega \in ]a,+\infty[ : f'(\omega) =0$

Ho ragionato al seguente modo :

Pongo per comodità $I=[a,+infty[$ e $\dot(I)$ il suo aperto.
Se $f$ è costante non vi sono dubbi, infatti si avrebbe che $AA x \in \dot(I) : f'(x)=0$. Se $f$ è non costante allora esiste $b \in \dot(I) $ tale che $f(b)!=f(a)$.
supponiamo , per comodità che $f(b)>f(a)$ (l'altro caso è analogo).
Poiché $f$ converge ad $f(a)$ ed è non costante $EE k \in \dot(I) : \forall x>=k => f(x) Se consideriamo $f$ ristretta all'intervallo $[a,k]$ , per Weirestrass $EE \delta \in [a,k] $ punto di massimo assoluto. Si noti che $\delta $ è diverso sia da $a$ che da $k$. Se $\delta =a $ si avrebbe $f$ costante , contro le ipotesi. Se $\delta = k$ allora risulterebbe falsa (1). Pertanto , poiché $\delta$ è un punto di massimo si ha dal Th. Di Fermat che $f'(\delta)=0$.

Vi convince? grazie mille ragazzi

[Rigel1]

[gugo82]

Alternativamente...

Innanzitutto nota che non si lede la generalità supponendo \(a=0\) (poiché altrimenti basta applicare una traslazione).
Considera la funzione \(\phi :[0,\pi/2[\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
\phi (t):= f(\tan t)
\]
che è continua in \([0,\pi/2[\), derivabile in \(]0,\pi/2[\) ed ha:
\[
\phi (0)=f(0)=\lim_{x\to \infty} f(x)=\lim_{t\to \pi/2^-} \phi (t)\; ,
\]
sicché essa si prolunga con continuità all'intervallo chiuso \([0,\pi/2]\) ponendo \(\phi (\pi/2)=\phi (0)\).
Conseguentemente al prolungamento di \(\phi\) applichi il classico teorema di Rolle, perciò sai che esiste un \(t_0\in [0,\pi/2[\) tale che \(\phi^\prime (t_0)=0\); ma, dato che:
\[
\phi^\prime (t) = f^\prime (\tan t)\ \frac{1}{\cos^2 t}
\]
si ha \(f^\prime (\tan t_0)=0\); dunque il punto \(x_0:=\tan t_0 \in [0,\infty[\) è il punto che t'interessa.

Buon anno!

[Rigel1]

@gugo: stai sempre a compattificare le rette!

Buon anno

[Kashaman]

Auguri ad entrambi, grazie mille!
Bella la tua dimostrazione gugo!

[gugo82]

"Rigel":@gugo: stai sempre a compattificare le rette!

Vero!
L'avevo già svolto così in precedenza... Ma non riuscivo a trovare il post.