Teorema ponte sulle curve
Devo mostrare che dati $f: Asube RR^n->RR^m$ e $x_0$ punto di accumulazione per $A$.
Se $\lim_{x \to \x_0}f(x)=l =>$ per ogni curva $varphi in C([a,b],RR^n)$ t.c. $EE t_0in[a,b], varphi(t_0)=x_0$, $AAt!=t_0$ $varphi(t)!=x_0$ e $x_0$ è un punto di accumulazione per $\varphi[a,b] nnA $ si ha $lim_{t \to \t_0} f(varphi(t))=l$ (con $C([a,b],RR^n)$ indico l'insieme funzione continue da $[a,b]$ in $RR^n$).
La mia idea è di applicare il teorema limite della funzione composta, ma per farlo devo prima mostrare che $t_0$ sia un punto di accumulazione dell'insieme $V={tin[a,b] | varphi(t) in A}$
Usando la continuità in $t_0$ ho che: dato $\epsilon>0$ $varphi(t)inB(x_0, \epsilon)$ $AA tin[a,b], |t-t_0|
Se $\lim_{x \to \x_0}f(x)=l =>$ per ogni curva $varphi in C([a,b],RR^n)$ t.c. $EE t_0in[a,b], varphi(t_0)=x_0$, $AAt!=t_0$ $varphi(t)!=x_0$ e $x_0$ è un punto di accumulazione per $\varphi[a,b] nnA $ si ha $lim_{t \to \t_0} f(varphi(t))=l$ (con $C([a,b],RR^n)$ indico l'insieme funzione continue da $[a,b]$ in $RR^n$).
La mia idea è di applicare il teorema limite della funzione composta, ma per farlo devo prima mostrare che $t_0$ sia un punto di accumulazione dell'insieme $V={tin[a,b] | varphi(t) in A}$
Usando la continuità in $t_0$ ho che: dato $\epsilon>0$ $varphi(t)inB(x_0, \epsilon)$ $AA tin[a,b], |t-t_0|
Risposte
Nota che la funzione \(\varphi\) è continua e la controimmagine di un aperto è aperto. Quindi il tuo punto è certamente di accumulazione.
Mi sono reso conto che il teorema per come l'avevo scritto era sbagliato. Ora l'ho riscritto e ho chiarito qual'è il problema per cui mi sono bloccato.
Secondo me ti stai complicando la vita. Quello che sai è che, per la continuità di \(\varphi\),
\[ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall t \in B_\delta(t_0) \cup [a, b], f(t) \in B_\epsilon(x_0). \]
A questo punto ti serve solo dimostrare che \(U = B_\delta(t_0) \cup [a, b] \neq \{t_0\}\). Ma \(U\) può assumere solo una delle seguenti forme:
1. \([a, t_0 + \delta)\) se \(a > t_0 - \delta\) e \(b \geq t_0 + \delta\).
2. \((t_0 - \delta, t_0 + \delta)\) se \(a \leq t_0 - \delta\) e \(b \geq t_0 + \delta\).
3. \((t_0 - \delta, b]\) se \(a \leq t_0 - \delta\) e \(b < t_0 + \delta\).
4. \([a, b]\) se \(a > t_0 - \delta\) e \(b < t_0 + \delta\).
Se \(a < b\) si avranno quindi almeno due punti appartenenti all'insieme \(U\) e \(t_0\) è quindi un punto di accumulazione. Ovviamente il caso in cui \(a \geq b\) non ha comunque senso in quanto la funziona ha come dominio un singolo punto e quindi non ha neanche senso il limite.
\[ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall t \in B_\delta(t_0) \cup [a, b], f(t) \in B_\epsilon(x_0). \]
A questo punto ti serve solo dimostrare che \(U = B_\delta(t_0) \cup [a, b] \neq \{t_0\}\). Ma \(U\) può assumere solo una delle seguenti forme:
1. \([a, t_0 + \delta)\) se \(a > t_0 - \delta\) e \(b \geq t_0 + \delta\).
2. \((t_0 - \delta, t_0 + \delta)\) se \(a \leq t_0 - \delta\) e \(b \geq t_0 + \delta\).
3. \((t_0 - \delta, b]\) se \(a \leq t_0 - \delta\) e \(b < t_0 + \delta\).
4. \([a, b]\) se \(a > t_0 - \delta\) e \(b < t_0 + \delta\).
Se \(a < b\) si avranno quindi almeno due punti appartenenti all'insieme \(U\) e \(t_0\) è quindi un punto di accumulazione. Ovviamente il caso in cui \(a \geq b\) non ha comunque senso in quanto la funziona ha come dominio un singolo punto e quindi non ha neanche senso il limite.
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