Teorema ponte....

[carmelo811]

Ciao a tutti,
qualcuno di voi sa dove trovare online la dimostrazione del teorema ponte tra i limiti di successioni e i limiti di funzioni?
Volevo confrontarla cn il mio libro...
Ciao e grazie

[paoletto987]

ma che libro hai marcellini sbordone?

[carmelo811]

si...
mi dirai che il teorema lo sostituisce con il paragrafo "legame tra limiti di successioni e limiti di funzioni"?

[paoletto987]

si ma se ti devo dire la verità quando l'ho studiato li nn l'ho capito tanto bene!è un po incomprensibile!scusami ma come mai o chiami teorema ponte se questa dicitura si usa soltanto a Napoli!

[carmelo811]

in effetti è un po complicata la dimostrazione, per questo motivo volevo confrontarlo con un altro (online perchè nn ho altri libri di testo)...
Il mio prof ha scritto questa dicitura tra i teoremi dimostrati a lezione...evidentemente nn si usa solo a Napoli, dato che studio in Sicilia...

[Camillo]

Pare che anche a Roma vada alla grande

[f.bisecco]

molto lanciata anche a Cassino...

[gugo82]

La denominazione "Teorema ponte" viene usata per indicare il seguente risultato:

Siano $U subset RR$ una parte non vuota, $f:U rarr RR$ e $c$ un punto d'accumulazione per $U$.
Si ha $lim_(x rarr c) f(c) = l$, con $l in [-infty, +infty]$ se e solo se, comunque si fissi una successione $(x_n) subset U\setminus \{ c\}$ con $lim_(n) x_n = c$, risulta $lim_(n) f(x_n) = l$.

che riveste un'importanza fondamentale nella teoria del limite quando essa venga cominciata dalle successioni: esso infatti consente di estendere facilmente alle funzioni di variabile reale tutti i teoremi sui limiti già provati per le successioni (e.g. i teoremi per il calcolo del limite di una somma o di un prodotto di funzioni si dimostrano applicando gli analoghi per le successioni ed il "Teorema ponte").
Molto più drasticamente, l'equivalenza logica nell'enunciato del teorema può essere presa come definizione della scrittura $lim_(x rarr c) f(x) = l$ al posto della classica definizione $epsilon-delta$.

Dim.: Supporremo per semplicità che $c$ ed $l$ siano entrambi al finito.
$Rightarrow$) Supponiamo che $lim_(x rarr c) f(x) =l$: il nostro compito è mostrare che, comunque si fissi una successione $(x_n)$ di punti di $U\setminus \{ c\}$ convergente al punto d'accumulazione $c$, la successione delle immagini di tali punti $(f(x_n))$ è regolare e si ha $lim_n f(x_n) =l$.
Si parte dalla classica definizione $epsilon-delta$: abbiamo $lim_(x rarr c) f(x)=l$ se e solo se:

$forall epsilon >0 , exists delta_(epsilon) >0 : forall x in ]c-delta_(epsilon), c+delta_(epsilon)[ cap U\setminus \{ c\} , |f(x)-l| < epsilon$.

Fissato $epsilon >0$ è possibile determinare un $delta_(epsilon) >0$ in modo che:
1.

$forall x in ]c-delta_(epsilon) , c+delta_(epsilon)[ cap U\setminus \{ c\}, |f(x)-l| < epsilon$;

per la definizione di limite applicata alla successione $(x_n)$, in corrispondenza del $delta_(epsilon)$ positivo appena determinato riusciamo ad individuare un $nu_(delta_(epsilon))=nu_(epsilon) in NN$ tale che:
2.

$forall n > nu_(epsilon), |x_n-c| cosicché da un certo indice in poi i punti $x_n$ cadono nell'intorno di $c$ avente semiampiezza $delta_(epsilon)$; mettendo insieme le 1. e 2. otteniamo:
3.
$forall n>nu_(epsilon), |f(x_n)-l| Stante l'arbitrarietà nella scelta di $epsilon$ in $RR^+$, possiamo affermare che quanto detto valga per ogni numero positivo, cioè possiamo dire che:

$forall epsilon >0, exists nu_(epsilon) in NN : forall n >nu , |f(x_n)-l|< epsilon$ ossia $lim_n f(x_n)=l$,[/list:u:zx0g9wq5]
che è quanto volevamo.

$Leftarrow$) Ora sia vero che $lim_n f(x_n) =l$ per ogni successione $(x_n) subset U\setminus \{ c\}$ con $lim_n x_n=c$ e mostriamo che ciò implica $lim_(x rarr c) f(x) =l$.
La faremo per assurdo, supponendo che $l$ non sia il limite di $lim_(x rarr c) f(x)$.
Vista la natura della nostra ipotesi, partiamo dalla negazione della definizione $epsilon-delta$:

$exists epsilon >0 : forall delta >0, exists x_(delta) in ]c-delta,c+delta[ cap U\setminus \{ c\} : |f(x)-l|ge epsilon$,

che, fuori dal simbolismo, significa che comunque si scelga piccola la semiampiezza $delta$ dell'intorno di $c$ in tale intorno cade sempre un punto di $U$ la cui immagine tramite $f$ dista da $l$ almeno $epsilon$.
Potendo $delta$ assumere ogni valore positivo, scegliamo di far variare tale simbolo nell'insieme ${1/n, n in NN}$ dei reciproci dei numeri naturali: sostituendo di volta in volta $delta =1/n$ nella proposizione precedente riusciamo ad individuare una successione di punti $x_n in U$ che gode delle seguenti proprietà:

$forall n in NN, c-1/n < x_n Dalla prima, applicando il Teorema "dei carabinieri", traiamo facilmente $lim_n x_n =c$; dalla seconda traiamo che la distanza tra i termini della successione $(f(x_n))$ ed il numero $l$ rimane non inferiore ad $epsilon$, cosicchè la successione delle imma gini di $(x_n)$ tramite $f$ non può convergere verso $l$.
Ciò però è assurdo in quanto, per ipotesi, la successione delle immagini tramite $f$ dei punti di qualunque successione di $U\setminus \{ c\}$ convergente a $c$ deve essere regolare ed avere limite pari ad $l$!
Ne consegue che è vera la proposizione:

$forall epsilon >0, exists delta_(epsilon) >0 : forall x in ]c-delta, c+delta[ cap U\setminus \{ c\}, |f(x)-l|[/list:u:zx0g9wq5][/list:u:zx0g9wq5][/list:u:zx0g9wq5][/list:u:zx0g9wq5]
cioè è vero che $lim_(x rarr c) f(x)=l$.

Q.E.D.

Il teorema può essere generalizzato a spazi di natura più complessa (ma ciò non viene fatto, di norma, nei corsi di Analisi I).

Se la dimostrazione non è chiara o sbagliata in qualche punto sentitevi liberi di chiedere chiarimenti o di correggere.

Buono studio a tutti, Gugo.

[kekkos74]

invece per dimostrarlo quando l=+infinito?
so che devo dimostralo per assurdo negando: Ɐ M>0 :Ǝ x є (a;+ꝏ) ꓵ A\{x0} :f (xm)≤M
ma non riesco a concludere la dimostrazione