Teorema ponte
Salve, sto dimostrando il teorema ponte in questo caso particolare (lasciato al lettore come esercizio)
"Sia $f:X->RR$ una funzione ove $X$ è illimitato superiormente. Sono equivalenti i seguenti fatti
$(i) EE lim_(x->+\infty) (f(x))=l \in RR \uu {+-\infty}$
$(ii) AA{x_n}$ di punti di $X$ divertente si ha $lim_(n) (f(x_n))=l \in RR \uu {+-\infty}$"
La prova che $(i)=>(ii)$ è analoga al caso finito. Per provare che $(ii)=>(i)$, similmente al caso finito, ho proceduto così:
Per assurdo la $(i)$ sia falsa, cioè esiste un $\epsilon_0$ tale che per ogni $k>0$ esiste $x \in X$ tale che se $x>k$ allora $|f(x)-l|>=\epsilon_0$.
Pongo $k=1$ e trovo $x_1$ tale che $x_1>1$ e $|f(x_1)-l|>=\epsilon_0$
Pongo $k=x_1$ e trovo $x_2$ tale che $x_2>x_1$ e $|f(x_2)-l|>=\epsilon_0$
...
Pongo $k=x_(n-1)$ e trovo $x_n$ tale che $x_n>x_(n-1)$ e $|f(x_n)-l|>=\epsilon_0$
Così facendo ho costruito una successione monotona crescente non limitata superiormente e che dunque diverge positivamente. Inoltre per ogni $n\in NN$ si ha $|f(x_n)-l|>=\epsilon_0$. Ma ciò è contro le ipotesi perché deve essere $lim_(n) (f(x_n))=l$
Può andare come dimostrazione?
"Sia $f:X->RR$ una funzione ove $X$ è illimitato superiormente. Sono equivalenti i seguenti fatti
$(i) EE lim_(x->+\infty) (f(x))=l \in RR \uu {+-\infty}$
$(ii) AA{x_n}$ di punti di $X$ divertente si ha $lim_(n) (f(x_n))=l \in RR \uu {+-\infty}$"
La prova che $(i)=>(ii)$ è analoga al caso finito. Per provare che $(ii)=>(i)$, similmente al caso finito, ho proceduto così:
Per assurdo la $(i)$ sia falsa, cioè esiste un $\epsilon_0$ tale che per ogni $k>0$ esiste $x \in X$ tale che se $x>k$ allora $|f(x)-l|>=\epsilon_0$.
Pongo $k=1$ e trovo $x_1$ tale che $x_1>1$ e $|f(x_1)-l|>=\epsilon_0$
Pongo $k=x_1$ e trovo $x_2$ tale che $x_2>x_1$ e $|f(x_2)-l|>=\epsilon_0$
...
Pongo $k=x_(n-1)$ e trovo $x_n$ tale che $x_n>x_(n-1)$ e $|f(x_n)-l|>=\epsilon_0$
Così facendo ho costruito una successione monotona crescente non limitata superiormente e che dunque diverge positivamente. Inoltre per ogni $n\in NN$ si ha $|f(x_n)-l|>=\epsilon_0$. Ma ciò è contro le ipotesi perché deve essere $lim_(n) (f(x_n))=l$
Può andare come dimostrazione?
Risposte
"Cantor99":
Salve, sto dimostrando il teorema ponte in questo caso particolare (lasciato al lettore come esercizio)
"Sia $f:X->RR$ una funzione ove $X$ è illimitato superiormente. Sono equivalenti i seguenti fatti
$(i) EE lim_(x->+\infty) (f(x))=l \in RR \uu {+-\infty}$
$(ii) AA{x_n}$ di punti di $X$ divertente si ha $lim_(n) (f(x_n))=l \in RR \uu {+-\infty}$"
Scusate, non ho resistito...
Ad ogni buon conto, la dimostrazione così com’è non funziona benissimo e bisogna limarla un po’.
Quello che può andare storto è che la successione $(x_n)$, per com’è definita potrebbe non essere divertente
...Prova a considerare $k= max \{ x_(n-1), n-1\}$.
Chi ti dice che non sia limitata? È solo monotóna.
La successione $a_n=arctan(2^n)$ è monotona ma limitata.
Io vado contro Gugo e dico di considerare $k_n=2^n$
La successione $a_n=arctan(2^n)$ è monotona ma limitata.
Io vado contro Gugo
e dico di considerare $k_n=2^n$
Perdonate il correttore ahah 
Tornando seri ho pensato che fosse superiormente illimitata perché tale è $X$ ma evidentemente è falso.
Accetto la proposta di @anto_zoolander e pongo $x_1>1$,$x_2>2$,...,$x_n>2^(n-1)$, così che sono sicuro che $x_n$ diverge per il teorema del confronto
Vi ringrazio moltissimo
Tornando seri ho pensato che fosse superiormente illimitata perché tale è $X$ ma evidentemente è falso.
Accetto la proposta di @anto_zoolander e pongo $x_1>1$,$x_2>2$,...,$x_n>2^(n-1)$, così che sono sicuro che $x_n$ diverge per il teorema del confronto
Vi ringrazio moltissimo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo