Teorema ponte

[antonio9992]

Qualcuno conosce la dimostrazione del teorema legame tra limite di funzioni e limite di successioni anche per divergenza e per x tendendente ad infinito?

L'ho trovato solo per convergenza per x tendente ad valore finito.

[Bremen000]

Teorema
Sia $f: X \to \mathbb{R}$ e sia $x_0$ di accumulazione per $X$.
Allora si ha
\begin{equation}
\lim_{x \to x_0} f(x) = l
\end{equation}
se e solo se per ogni successione $\{a_n \}$ convergente a $x_0$ si ha
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} f(a_n) = l
\end{equation}

Dimostrazione

Mostriamo che $(1)$ implica $(2)$:
Dalla definizione di limite
$$ \lim_{x \to x_0}f(x)=l \Leftrightarrow \forall J_l \quad \exists I_{x_0} : x \in (I_{x_0} \cap X) \setminus \{x_0 \} \Rightarrow f(x) \in J_l $$
Sia fissato un intorno $\overline{J_l}$ e dunque un corrispondente $\overline{I_{x_0}}$ ; poiché $\{a_n \}$ converge a $x_0$, allora esiste un $N$ t.c. se $n>N$ allora $a_n \in \overline{I_{x_0}}$, ma allora $f(a_n) \in \overline{I_l}$, ovvero $f(a_n)$ converge a $l$ che è la $(2)$.


Mostriamo che $(2)$ implica $(1)$:
Per assurdo valga $(2)$ ma $(1)$ sia falsa: allora esiste un intorno $I_l$ tale che per ogni $I_{x_0}$ esiste un punto $a \in X$ tale che $a \in I_{x_0}$ ma $f(a) \notin I_l$. Consideriamo ora, tra gli infiniti intorni possibili di $I_{x_0}$, una successione di intorni $I_{x_0}^{n}$ (e dunque una successione di punti $a_n \in I_{x_0}^{n}$) tali che la distanza tra $a_n$ e $x_0$ tenda a 0
[nota]Se $x_0$ fosse finito è sufficiente prendere $\{x \in \mathbb{R} : 0<|x-x_0|<1/n\}$.
Se $x_0$ fosse $+ \infty$ è sufficiente prendere $\{x \in \mathbb{R} : x>n \}$.
Se $x_0$ fosse $- \infty$ è sufficiente prendere $\{x \in \mathbb{R} : x<-n \}$.[/nota].
Ma allora abbiamo costruito una successione $\{a_n\}$ che tende a $x_0$ ma tale che, poiché $f(a_n) \notin I_l$, $f(a_n)$ non converge a $l$, il che contraddice la $(2)$ il che è assurdo.