Teorema permanenza del segno di una successione

[pell1]

Stavo studiamo il Th della permanenza del segno, per una successione $ a_n $ , che dice:
Se $ lim_(n -> + oo) a_n =a >0 $ ,esiste un numero $ v $ tale che $ a_n > 0 $ per ogni $ n>v $ .
DIM :
dato che $ a>0 $ , possiamo scegliere $ epsilon = a/2 $ . Esiste quindi (per la definizione di limite )un numero $ v $ per cui $ |a_n - a | v $ . Ciò equivale (aprendo il modulo) $ -a/2 < a_n -a < a/2 $ . In particolare, aggiungendo a destra e sinistra $ a $ abbiamo $ a_n > a- a/2 = a/2 > 0 $ , per ogni $n>v $
Quindi otteniamo che $ a_n $ è positivo.
(spero di averla scritta bene)

Ia mia curiosità (forse stupida già in partenza ma è solo per capire meglio come si fanno le dimostrazioni in generale ) riguarda il fatto che provando a fare da solo la dimostrazione, dopo quella scritta su, ho provato a dimostrare il teorema con $ lim_(n ->+ oo) a_n = a<0 $ e con $ a_n <0 $ cioè con valori negativi come se il th. fosse scritto nel seguente modo:
Se $ lim_(n -> + oo) a_n =a <0 $ ,esiste un numero $ v $ tale che $ a_n < 0 $ per ogni $ n>v $
Volevo sapere se il teorema scritto così esiste e come si procede con la dimostrazione
o anche sapere come si dimostra che sia sbagliato.... Grazie un saluto a tutti

[dissonance]

Un trucco che ti permette di evitare di fare conti è considerare la successione $b_n=-a_n$ e applicare a questa il teorema che hai dimostrato prima. Oppure puoi ripetere la dimostrazione di prima. Prendi $\epsilon=|a|/2$ stavolta.

[pell1]

Grazie per la risposta Dissonance... il trucco di considerare $ b_n = - a_n $ è molto utile, anche per altre dimostrazioni grazie