Teorema per equazioni differenziali lineari

[Gmork]

Salve,


Ho difficoltà sull'applicazione del teorema secondo il quale:

L'integrale generale di una equazione differenziale lineare di ordine n completa, è uguale alla funzione somma dell'integrale generale dell'omogenea associata e di un integrale particlare di quella completa.

L'applicazione è la seguente:

$y'-y=1$

Scrivo l'omogenea associata:

$y'=y$ e trovo come integrale particolare la classe $y(x)=ke^x\ :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$

Adesso, per ricavare una soluzione particolare cosa dovrei fare? Mi dovrei inventare una condizione iniziale?

[j18eos]

Prova a porre [tex]$z=y+1$[/tex], ti calcoli [tex]$z'$[/tex] e...

[Gmork]

Viene fuori che $z'=1$ dovrei porre $z'=1=ke^x$ ?

[j18eos]

E qual è la soluzione dell'equazione [tex]$z'=1$[/tex]? -_-

[Gmork]

Non ti seguo. La derivata di una funzione è 1 quando la funzione è pari alla stessa variabile. Cioè se $z'(x)=1$ allora $z(x)=x$

[salvozungri]

"Orlok":Salve,


Ho difficoltà sull'applicazione del teorema secondo il quale:

L'integrale generale di una equazione differenziale lineare di ordine n completa, è uguale alla funzione somma dell'integrale generale dell'omogenea associata e di un integrale particlare di quella completa.

L'applicazione è la seguente:

$y'-y=1$

Scrivo l'omogenea associata:

$y'=y$ e trovo come integrale particolare la classe $y(x)=ke^x\ :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$

Adesso, per ricavare una soluzione particolare cosa dovrei fare? Mi dovrei inventare una condizione iniziale?

Per determinare la soluzione particolare devi guardare il secondo membro dell'equazione differenziale, in questo caso esso è una costante e vale $1$, pertanto la soluzione particolare è della forma $y_p(x)=A$ con $A$ costante reale.

Inoltre $y_p(x)=A\implies y_p'(x)=0$ e sostituendo nell'equazione otteniamo:

$-A=1\implies A=-1$ e quindi $y_p(x)=-1$.

Concludiamo dicendo che la famiglia di funzioni che soddisfa l'equazione differenziale è

$y=y_0+ y_p= k e^x-1$


La soluzione proposta da Armando (sostituzione) è buona ma mi sa che orlok si è perso nei conti, lo invito comunque ad insistere perchè è un allenamento utile (questi trucchi si rivelano essere una panacea nei casi più complicati);)

[Gmork]

"Mathematico":

Per determinare la soluzione particolare devi guardare il secondo membro dell'equazione differenziale, in questo caso esso è una costante e vale $1$, pertanto la soluzione particolare è della forma $y_p(x)=A$ con $A$ costante reale.

Inoltre $y_p(x)=A\implies y_p'(x)=0$ e sostituendo nell'equazione otteniamo:

$-A=1\implies A=-1$ e quindi $y_p(x)=-1$.

Concludiamo dicendo che la famiglia di funzioni che soddisfa l'equazione differenziale è

$y=y_0+ y_p= k e^x-1$

Questa l'ho imparata di recente, comunque prima di aprire la discussione. Volevo vedere se, visto che l'equazione è del 1o ordine, se esisteva un metodo più immediato.

[salvozungri]

Ah, scusami, non mi ero accorto che la discussione è vecchia di tre giorni fa. Sono contento che tu abbia imparato da solo a determinare la soluzione particolare .

Il metodo più immediato è sicuramente quello di Armando (alias j18eos). Riprova a fare i conti e postali

[j18eos]

Forse se scrivo così mi si capisce (e mi capisco) meglio: [tex]$y'-y=1\iff y'=y+1\iff\begin{cases}z=y+1\\y'=z\end{cases}$[/tex] ma allora [tex]$z'=(y+1)'=y'=z\Rightarrow z'=z$[/tex] ottendo così che [tex]$\begin{cases}z=ke^x\\y=z-1\end{cases}$[/tex] e si conclude l'esercizio!

Facendo così noto che non avevo controllato i precedenti calcoli di Orlok a dovere: scusamene.

OUT OF SELF @Mathematico Ogni tanto qualcuno mi chiama per nome.