Teorema ordine infinitesimo serie di fourier
Salve,
Sto analizzando il seguente teorema sull'ordine di infinitesimo dei coefficienti di fourier:
Ora, non ho nessun problema ha capire il teorema in tale forma, che è poi la forma che si ottiene mediante la dimostrazione effettuata; ciò che però mi sfugge è che si utilizza prima e dopo questo teorema come se affermasse che sotto queste condizioni, \( c_k(f) = O(1/k), k \to \infty \). Ma l'affermare che \( \exists C>0 : |c_k(f)| \leq \frac{C}{k} \,\, \forall k\in \mathbb{Z} \) non significa dire solo che $c_k(f)$ è un infinitesimo di ordine maggiore o uguale a \( 1/k \) ?
(Il testo è Analisi armonica, A.Picardello, e mi riferisco al corollario 5.18.8, pag.529)
Sto analizzando il seguente teorema sull'ordine di infinitesimo dei coefficienti di fourier:
Sia \( f \in L_{\text{*}}^{\infty} \) monotona a tratti in \( [-\pi,\pi] \). Allora \( \exists C>0 : |c_k(f)| \leq \frac{C}{k} \,\, \forall k\in \mathbb{Z} \)
Ora, non ho nessun problema ha capire il teorema in tale forma, che è poi la forma che si ottiene mediante la dimostrazione effettuata; ciò che però mi sfugge è che si utilizza prima e dopo questo teorema come se affermasse che sotto queste condizioni, \( c_k(f) = O(1/k), k \to \infty \). Ma l'affermare che \( \exists C>0 : |c_k(f)| \leq \frac{C}{k} \,\, \forall k\in \mathbb{Z} \) non significa dire solo che $c_k(f)$ è un infinitesimo di ordine maggiore o uguale a \( 1/k \) ?
(Il testo è Analisi armonica, A.Picardello, e mi riferisco al corollario 5.18.8, pag.529)
Risposte
Beh? E qual è il problema? O-grande significa esattamente questo: un infinitesimo di ordine maggiore o uguale a, ovvero, più formalmente, che esiste una costante \(C\) tale che sia verificata una disuguaglianza come quella data. Butta un occhio al post sui simboli di Landau di Gugo.
mmh... hai presente quando si è tanto convinti di qualcosa da non pensare di aver bisogno di controllare? 
Comunque apparte la gaffe dell'O grande il problema persiste: infatti la contraddizione che vedevo era nel fatto che il teorema è trattato come se fornisse l'esatto ordine di convergenza; si legge nella "introduzione" al teorema (in una forma leggermente diversa da quella che ho scritto sopra ma il succo è lo stesso... almeno credo!):
Però dalla dimostrazione segue solo ciò che ho scritto sopra, ovvero che \( c_k(f) = O(1/k^{m+1}) \), dunque nessuna informazione sull'esatto ordine di infinitesimo..
Comunque apparte la gaffe dell'O grande il problema persiste: infatti la contraddizione che vedevo era nel fatto che il teorema è trattato come se fornisse l'esatto ordine di convergenza; si legge nella "introduzione" al teorema (in una forma leggermente diversa da quella che ho scritto sopra ma il succo è lo stesso... almeno credo!):
Nel prossimo teorema miglioriamo il risultato enunciato nel Corollario xxx sotto l'ipotesi che la derivata m-esima sia \( L_{\text{*}}^1 \) e monotona a tratti: in tal caso otteniamo che \( c_k(f) \) è infinitesimo dello stesso ordine di \( 1/k^{m+1} \). Questo fa guadagnare un ordine di infinitesimo rispetto a quanto altrimenti ottenuto nel lemma xxx e nel corollario xxx e per la funzione a denti di sega \( \Theta \) dà l'esatto ordine di infinitesimo: \( c_k(\Theta) \approx 1/k \)
Però dalla dimostrazione segue solo ciò che ho scritto sopra, ovvero che \( c_k(f) = O(1/k^{m+1}) \), dunque nessuna informazione sull'esatto ordine di infinitesimo..
Questi teoremi di dicono sempre qual è il minimo ordine di infinitesimo dei coefficienti.
Quindi quando si scrive che, ad esempio, \( c_k(f) \approx 1/k^2 \) si intende che \( c_k(f) \) è un infinitesimo di ordine maggiore o uguale a \( 1/k^2 \) per \( k \to \infty \)?
Di solito \(\approx\) indica che l'ordine di infinitesimo è proprio quello, mentre O-grande indica ordine maggiore o uguale. Il teorema comunque vale con l'O-grande e non con \(\approx\): prendi per esempio la funzione \(f\) identicamente nulla su \([-\pi, \pi]\). L'autore però sottolinea che la stima asintotica fornita dal teorema non può essere migliorata perché almeno per una funzione (il dente di sega) essa è esatta.
aaaah ok, non mi era proprio venuto in mente che fosse da interpretare in quel modo.. grazie mille xD
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