Teorema limite rapporto, dimostrazione

[Sk_Anonymous]

Ciao, ho dei dubbi sulla dimostrazione del limite del rapporto di due successioni.
Se $a_n$->a, e $b_n$->b, allora:
$(a_n/b_n)->a/b$.
Per dimostrare questo teorema, basta dimostrare che $(1/b_n)->1/b$, da cui, applicando il teorema del prodotto (dimostrato), $a_n*(1/b_n)->a/b$.
Innanzitutto osserviamo che, fissato un epsilon arbitrario maggiore di 0, a partire da un certo indice in poi, è verificata la relazione: $|b_n-b| $|b_n|=|(b_n-b)+b|>|b|-|b_n-b|>|b|-eps$. Non ho capito l'utilità di questa relazione, ed il perchè è vera. Grazie mille

[deserto1]

La vedrei così: dati $a,b in RR$ $|a-b+b|+|b-a|>=|b|$ per la disuguaglianza triangolare.

Farei poi $|(1/b_n)-1/b|=|b_n-b|/|b_nb|$ e cercherei di maggiorare opportunamente.

[Sk_Anonymous]

Ok, grazie, allora, sto studiando la dimostrazione del famoso limite notevole $lim n->+oo (1+(1/n))^n=e$. Il libro dimostra prima che tale successione è monotona, poi che è limitata e quindi automaticamente convergente. Quindi dice che il limite è il numero $e$ (senza fare altre dimostrazioni). Ora volevo sapere se la dimostrazione è così, oppure se c'è qualche passaggio che il libro ha saltato, poichè non capisco come si possa concludere che il limite è proprio $e$, e non un altro numero. Grazie mille, come sempre.

[poncelet]

Se non dico una cavolata, mi sembra proprio che una delle definizioni del numero di Nepero è proprio tale limite.

[Seneca1]

Se dimostri che quella successione è limitata e monotona crescente, automaticamente converge a un numero reale. Quel numero lo chiami $e$.

[ciampax]

Questo è uno di quei classici casi in cui ti chiedi se è nato prima l'uovo o la gallina. Di solito uno può usare l'argomentazione di Seneca e dire che quel limite vale $e$ e poi far vedere che risulta pure $\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}=e$, oppure partire da questa serie e far vedere che quel limite vale esattamente lo stesso. Sono quelle cose particolari della matematica che, spesso, danno da pensare...

[Sk_Anonymous]

"ciampax":Questo è uno di quei classici casi in cui ti chiedi se è nato prima l'uovo o la gallina. Di solito uno può usare l'argomentazione di Seneca e dire che quel limite vale $e$ e poi far vedere che risulta pure $\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}=e$, oppure partire da questa serie e far vedere che quel limite vale esattamente lo stesso. Sono quelle cose particolari della matematica che, spesso, danno da pensare...

ok, comunque la dimostrazione segue il filo logico che ho postato o c'è dell'altro?

[ciampax]

Sostanzialmente è quella.

[Sk_Anonymous]

Ok