Teorema invertibilità locale
ciao ragazzi volevo farvi una domanda in merito a questo teorema. allora studiando sul mio libro ho letto che una funzione è invertibile se e solo se è iniettiva cioè ad ogni elemento del dominio esiste solo un immagine del codominio. Pero nel teorema di invertibilità locale non viene messa tra le ipotesi, in quando iniettività (da quanto ho letto ) è una condizione per invertibilità globale. ma allora perche si parla di invertibilità locale non si poteva mettere nel teorema anche questa ipotesi e si estendeva il concetto ad una invertibilità globale ???
Risposte
Non so se ho capito la domanda ma provo a risponderti.
L'iniettività su tutto il dominio della funzione è una condizione molto potente e restrittiva. In questo modo le funzioni che dovremmo scartare sono tantissime, ad esempio tutte le funzioni periodiche (se il dominio non è il solo periodo), etc. etc.
Il teorema di invertibilità globale invece garantisce l'invertibilità in un intorno del punto considerato (localmente, appunto), per cui non v'è necessità di richiedere l'iniettività su tutto il dominio. Basta richiederla in un intorno del punto considerato, e questa è la condizione che chiede la derivata prima non nulla nel punto.
L'iniettività su tutto il dominio della funzione è una condizione molto potente e restrittiva. In questo modo le funzioni che dovremmo scartare sono tantissime, ad esempio tutte le funzioni periodiche (se il dominio non è il solo periodo), etc. etc.
Il teorema di invertibilità globale invece garantisce l'invertibilità in un intorno del punto considerato (localmente, appunto), per cui non v'è necessità di richiedere l'iniettività su tutto il dominio. Basta richiederla in un intorno del punto considerato, e questa è la condizione che chiede la derivata prima non nulla nel punto.
perfetto inoltre nel teorema per come lo tratta il mio libro non dice che $f$ è un diffeomorfismo, percio se io dico che, (dopo aver indicato le ipotesi del teorema), f è una funzione diffeomorfa non commetto errore ?? (nel mio libro dice che la funzione inversa deve essere derivabile con continuita, mentre la mia prof dice che $f^(-1)$ è differenziabile )
Non so se stiamo parlando di funzioni $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ o di $f:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n$.
Se siamo nel caso monovariabile, abbiamo una $f$ differenziabile, invertibile e con derivata a sua volta differenziabile localmente (nota che in una variabile differenziabile $\iff$ derivabile) , quindi $f$ è un diffeomorfismo.
Se siamo in $\mathbb{R}^n$, derivabile con continuità $\Rightarrow$ differenziabile (vedi Teorema del Differenziale Totale), ma non è vero il contrario. Il teorema, per come lo conosco io, garantisce l'esistenza di un'inversa differenziabile, quindi $f$ è sempre un diffeomorfismo.
Se siamo nel caso monovariabile, abbiamo una $f$ differenziabile, invertibile e con derivata a sua volta differenziabile localmente (nota che in una variabile differenziabile $\iff$ derivabile) , quindi $f$ è un diffeomorfismo.
Se siamo in $\mathbb{R}^n$, derivabile con continuità $\Rightarrow$ differenziabile (vedi Teorema del Differenziale Totale), ma non è vero il contrario. Il teorema, per come lo conosco io, garantisce l'esistenza di un'inversa differenziabile, quindi $f$ è sempre un diffeomorfismo.
siamo in $RR^n$ quindi ovviamente avete ragione sia tu che la mia prof a dire che è differenziabile e il libro ha sbagliato questo volta... tutto chiaro grazie mille della spiegazione
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