Teorema integrali definiti

[Darèios89]

C'è un teorema sugli integrali definiti che abbiamo dimostrato, ma purtroppo a me manca la dimostrazione, ed è il teorema di integrabilità delle funzioni monotone.
Non è che potreste gentilmente fornirmi la dimostrazione?
Ho provato a cercare ma non si trova..

Grazie

[regim]

Integrale di Riemann? o Riemann-Stieltjes?
Ma praticamente la dimostrazione è identica, salvo la misura degli intervalli parziali e un ipotesi di uniforme continuità di cui possiamo fare a meno con Riemann essendo evidente.

Suppongo il primo caso e considero la funzione monotona crescente in un intervallo $I$, essendo gli altri casi analoghi:

Una condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità si dimostra essere l'esistenza, per ogni $epsilon > 0$, di una partizione di $I$(intervallo d'integrazione) in cui la somma superiore meno quella inferiore risulta minore di $epsilon$ cioè:

$S -s
Fissiamo qiundi un $epsilon^{\prime} < epsilon/(M-m)$ (ciò è solo per l'opportunità di far risultare $epsilon$ alla fine) e considera che $M$ e $m$ siano, rispettivamente, gli estremi superiore e inferiori della funzione nell'intervallo in questione.
Ora prendi una partizione di $I = [a,b] $ di modo che ogni intervallo parziale misuri al più $epsilon^{\prime}$ cioè $(b-a)/n <= epsilon^{\prime}$.
La differenza di cui sopra si calcola a partire dagli estremi superiori e inferiori della funzione in ciascun intervallo parziale, estremi che, essendo la funzione monotona crescente, saranno i valori che essa assume agli estremi dell'intervallo parziale stesso, quindi:

$S -s =sum_(i=0)^(n-1) [f(x_(i+1)) - f(x_i)] *((b-a)/n) <= sum_i [f(x_(i+1)) - f(x_i)] *epsilon^{\prime} = epsilon^{\prime} *sum_i [f(x_(i+1)) - f(x_i)] =epsilon^{\prime} * (M-m) < epsilon $

[Darèios89]

Scusa il ritardo con cui ti rispondo.
Si ci siamo, ho anche dato un' occhiata sul libro, se non sbaglio gli integrali fanno parte di analisi 2, quindi pensavo di non avere il libro adatto e mi mancavano gli appunti, ho dato un' occhiata sul Marcellini-Sbordone e c'è tutto ed è molto simile a come hai fatto tu.
Ti ringrazio tantissimo.