Teorema integrale di Cauchy
Ciao a tutti.
Ho fatto una ricerca nel forum per un problema con la dimostrazione del teorema integrale di Cauchy ma ho trovato solo una discussione che spiegava la dimostrazione che si può trovare su Wikipedia.
La dimostrazione su cui ho problemi invece è quella che si può trovare sull'Ahlfors: si dimostra che l'integrale lungo una curva chiusa di una funzione olomorfa $f$ è uguale a zero mostrando che $f$ ammette una primitiva olomorfa $F$.
Definiamo $F$ come
$F(z)= int_(sigma)f(z) dz $ ,
dove $sigma$ è il cammino che congiunge il centro $z_0$ del disco su cui $f$ è olomorfa con $z$ lungo due lati del rettangolo che ha per vertici opposti $z_0$ e $z$.
La dimostrazione consiste essenzalmente nel far vedere che
$ {del F} / {del y} =i f $ e
$ {del F} / {del x} =f $.
In realtà è proprio la dimostrazione della prima uguaglianza che non mi è chiara: sugli appunti presi in classe credo che ci siano degli errori e sull'Ahlfors "si vede immediatamente".
Qualcuno potrebbe darmi una mano spiegandomi come ottenere la prima uguaglianza? La seconda è chiara.
Ho tralasciato un po' di dettagli perchè immagino che sia una dimostrazione abbastanza conosciuta. In ogni caso domani mattina provvederò a postare più dettagli insieme con il calcolo esplicito che ho sugli appunti evidenziando dove secondo me c'è un errore.
Intanto vi ringrazio.
Andrea
Come promesso aggiungo i dettagli:
Nel calcolo del limite ho aggiunto la i scritta in rosso rispetto a quello che è stato scritto in classe perchè credo che ci vada.
Senza la i il risultato torna, ma non capisco perchè non dovrei metterla.
Grazie.
Andrea
Ho fatto una ricerca nel forum per un problema con la dimostrazione del teorema integrale di Cauchy ma ho trovato solo una discussione che spiegava la dimostrazione che si può trovare su Wikipedia.
La dimostrazione su cui ho problemi invece è quella che si può trovare sull'Ahlfors: si dimostra che l'integrale lungo una curva chiusa di una funzione olomorfa $f$ è uguale a zero mostrando che $f$ ammette una primitiva olomorfa $F$.
Definiamo $F$ come
$F(z)= int_(sigma)f(z) dz $ ,
dove $sigma$ è il cammino che congiunge il centro $z_0$ del disco su cui $f$ è olomorfa con $z$ lungo due lati del rettangolo che ha per vertici opposti $z_0$ e $z$.
La dimostrazione consiste essenzalmente nel far vedere che
$ {del F} / {del y} =i f $ e
$ {del F} / {del x} =f $.
In realtà è proprio la dimostrazione della prima uguaglianza che non mi è chiara: sugli appunti presi in classe credo che ci siano degli errori e sull'Ahlfors "si vede immediatamente".
Qualcuno potrebbe darmi una mano spiegandomi come ottenere la prima uguaglianza? La seconda è chiara.
Ho tralasciato un po' di dettagli perchè immagino che sia una dimostrazione abbastanza conosciuta. In ogni caso domani mattina provvederò a postare più dettagli insieme con il calcolo esplicito che ho sugli appunti evidenziando dove secondo me c'è un errore.
Intanto vi ringrazio.
Andrea
Come promesso aggiungo i dettagli:
Nel calcolo del limite ho aggiunto la i scritta in rosso rispetto a quello che è stato scritto in classe perchè credo che ci vada.
Senza la i il risultato torna, ma non capisco perchè non dovrei metterla.
Grazie.
Andrea
Risposte
Post aggiornato. 
Ragazzi...
Non c'è nessuno che mi sa dare una mano?
Il problema è che non sono stato abbastanza dettagliato o che nessuno è in grado di spiegarmi la dimostrazione?
Non c'è nessuno che mi sa dare una mano?
Il problema è che non sono stato abbastanza dettagliato o che nessuno è in grado di spiegarmi la dimostrazione?
Non vedo scritte in rosso.
Quello che vedo scritto mi sembra corretto; se vuoi, riportalo qui usando le formule del forum.
Quello che vedo scritto mi sembra corretto; se vuoi, riportalo qui usando le formule del forum.
Scusa rigel hai ragione.
Devo calcolare $ {del F}/{del y} $ dove
$ F = int_sigma f(z) dz $
e $ sigma$ è il cammino descritto in figura nel primo post.
Ora considerando un incremento puramente immaginario ho:
$ { del F}/{ del y}= lim_{h rarr 0}{F(z+ih)-F(z)}/{i h}=lim_{h rarr 0} 1/{i h}int_0^h f(z+it)i dt= f(z) $.
Il problema è che io devo dimostrare che $ { del F}/{ del y}= i f$.
Qualcuno mi sa dire dove sbaglio?
Grazie
Devo calcolare $ {del F}/{del y} $ dove
$ F = int_sigma f(z) dz $
e $ sigma$ è il cammino descritto in figura nel primo post.
Ora considerando un incremento puramente immaginario ho:
$ { del F}/{ del y}= lim_{h rarr 0}{F(z+ih)-F(z)}/{i h}=lim_{h rarr 0} 1/{i h}int_0^h f(z+it)i dt= f(z) $.
Il problema è che io devo dimostrare che $ { del F}/{ del y}= i f$.
Qualcuno mi sa dire dove sbaglio?
Grazie
Adesso vedo una $i$ rossa che non dovrebbe esserci (quella che poi viene semplificata).
Perché non dovrebbe esserci?
Dalla definizione di derivata ho
$ lim_{z rarr z_0}= {F(z)-F(z_0)}/{z-z_0} $
e se considero un incremento puramente immaginario ho
$ z= x+i y$
$z_0= x+ i(y-h) $
da cui
$ z-z_0= i h $
No?
Dalla definizione di derivata ho
$ lim_{z rarr z_0}= {F(z)-F(z_0)}/{z-z_0} $
e se considero un incremento puramente immaginario ho
$ z= x+i y$
$z_0= x+ i(y-h) $
da cui
$ z-z_0= i h $
No?
Il punto è che quando calcoli \(\partial F/\partial y\) stai pensando \(F\) come una funzione di due variabili reali; con abuso di notazione hai che
\[ \frac{\partial F}{\partial y} (x, y) = \lim_{h\to 0} \frac{F(x, y+h)-F(x,y)}{h}\]
dunque la \(i\) a denominatore non c'è.
\[ \frac{\partial F}{\partial y} (x, y) = \lim_{h\to 0} \frac{F(x, y+h)-F(x,y)}{h}\]
dunque la \(i\) a denominatore non c'è.
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