Teorema integrale di Cauchy
Salve, sto studiando analisi complessa e ho un dubbio sul (possibile) enunciato del teorema integrale di Cauchy. In genere ho trovato il teorema sotto una forma simile:
Siano $A \subset \mathbb{C}$ un aperto, $f: A \rightarrow \mathbb{C}$ una funzione derivabile e $\gamma \ : \ I \rightarrow A$ una curva chiusa rettificabile e omotopa a un punto in $A$. Allora $\int_{\gamma} f \ dz = 0$.
La dimostrazione del teorema in questo caso mi è chiara: utilizzo dapprima il teorema integrale di Cauchy sui triangoli, poi lo estendo ai poligoni, e poi approssimo l'integrale su una curva rettificabile con una successione di integrali su poligonali. Il mio prof ha enunciato invece il teorema così:
Sia $A \subset \mathbb{C}$ un aperto, che ha per frontiera una curva chiusa rettificabile $\gamma$, e sia $f: \overline{A} \rightarrow \mathbb{C}$ una funzione continua in $\overline{A}$ e derivabile in $A$. Allora $\int_{\gamma} f \ dz = 0$.
La differenza sostanziale sta nel fatto che si richiede che la funzione sia definita solo sul dominio (semplicemente connesso) di cui $\gamma$ è il bordo, e non su un aperto più grande. La dimostrazione che ha dato non mi convince, ma soprattutto ho trovato raramente il teorema enunciato in questa forma, e quando questo avveniva la dimostrazione era data solo in casi particolari. Dunque vale anche questa forma più generale, e se sì come si dimostra? Il mio sospetto è che non valga, ma non riesco a farlo vedere.
Siano $A \subset \mathbb{C}$ un aperto, $f: A \rightarrow \mathbb{C}$ una funzione derivabile e $\gamma \ : \ I \rightarrow A$ una curva chiusa rettificabile e omotopa a un punto in $A$. Allora $\int_{\gamma} f \ dz = 0$.
La dimostrazione del teorema in questo caso mi è chiara: utilizzo dapprima il teorema integrale di Cauchy sui triangoli, poi lo estendo ai poligoni, e poi approssimo l'integrale su una curva rettificabile con una successione di integrali su poligonali. Il mio prof ha enunciato invece il teorema così:
Sia $A \subset \mathbb{C}$ un aperto, che ha per frontiera una curva chiusa rettificabile $\gamma$, e sia $f: \overline{A} \rightarrow \mathbb{C}$ una funzione continua in $\overline{A}$ e derivabile in $A$. Allora $\int_{\gamma} f \ dz = 0$.
La differenza sostanziale sta nel fatto che si richiede che la funzione sia definita solo sul dominio (semplicemente connesso) di cui $\gamma$ è il bordo, e non su un aperto più grande. La dimostrazione che ha dato non mi convince, ma soprattutto ho trovato raramente il teorema enunciato in questa forma, e quando questo avveniva la dimostrazione era data solo in casi particolari. Dunque vale anche questa forma più generale, e se sì come si dimostra? Il mio sospetto è che non valga, ma non riesco a farlo vedere.
Risposte
UUUffff in che pasticcio ti sei ficcato! Di solito l'enunciato è il primo. Il secondo IMHO sarà vero, una funzione olomorfa in un aperto e continua fin sul bordo si potrà probabilmente approssimare bene con funzioni olomorfe e questo porta alla dimostrazione del secondo teorema partendo dal primo.
Francamente, però, non la trovo una generalizzazione significativa. A meno che tu non riesca a trovare un esempio non banale di funzione che verifica le ipotesi del secondo teorema ma non del primo. Io non ne ho trovato neanche uno.
Francamente, però, non la trovo una generalizzazione significativa. A meno che tu non riesca a trovare un esempio non banale di funzione che verifica le ipotesi del secondo teorema ma non del primo. Io non ne ho trovato neanche uno.
Ahahah mi ero accorto che la questione fosse delicata! Comunque, giusto per capire se le cose possono essere aggiustate in qualche modo, il mio prof ha fatto così. Per ogni $\epsilon > 0$, sia $A_{\epsilon} = \{ z \in A \ : \ d(z, \partial A) > \epsilon \}$. Allora $f$ è derivabile in $A_{\epsilon / 2}$. Detta $\gamma_{\epsilon}$ una parametrizzazione di $\partial A_{\epsilon}$, si ha $\int_{\gamma_{\epsilon}} f dz = 0$. Infine $\int_{\gamma} f dz = lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{\gamma_{\epsilon}} f dz = 0$ e si ha la tesi.
Affinché la dimostrazione sia completa, si dovrebbe provare che, almeno per $\epsilon$ abbastanza piccolo, la frontiera di $A_{\epsilon}$ è una curva che rispetta le ipotesi della prima versione del teorema, e poi la relazione di limite, che è intuitiva ma non proprio immediata, almeno per me.
Affinché la dimostrazione sia completa, si dovrebbe provare che, almeno per $\epsilon$ abbastanza piccolo, la frontiera di $A_{\epsilon}$ è una curva che rispetta le ipotesi della prima versione del teorema, e poi la relazione di limite, che è intuitiva ma non proprio immediata, almeno per me.
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