Teorema Gauss Green/ divergenza

[andreacavagna22]

Quale è la differenza tra il teorema di Gauss Green e il. teorema della divergenza nel piano?
Non consentono entrambi di calcolare la circuitazione lungo il bordo di un certo dominio?
Poteste gentilmente illustrarmela e indicarmi in quale circostanze è possibile applicare l’uno o l’altro
Grazie

[pilloeffe]

Ciao AndretopC0707,

Potresti cominciare a dare un'occhiata ad esempio qui.

[andreacavagna22]

Grazie pilloeffe,
In quale circostanze va usato l’uno o l’altro?

[gugo82]

Mai sentito il nome "teorema di Gauss - Green"... Esistono due formule di integrazione:
\[
\begin{split}
\iint_D u_x (x,y)\ \text{d} x \text{d} y &= \int_{+\partial D} u(x,y)\ \text{d} y\\
\iint_D u_y (x,y)\ \text{d} x \text{d} y &= - \int_{+\partial D} u(x,y)\ \text{d} x
\end{split}
\]
dette formule di Gauss & Green in cui:

[*:2pd09m4c] $D sub RR^2$ è un dominio con bordo $\partial D$ "sufficientemente regolare",
[/*:m:2pd09m4c]
[*:2pd09m4c] $u$ è una funzione definita su un aperto contenente $D$ ed ivi "sufficientemente regolare"
[/*:m:2pd09m4c]
[*:2pd09m4c] i pedici indicano derivazione parziale.[/*:m:2pd09m4c][/list:u:2pd09m4c]

Esse servono a ridurre il calcolo di un integrale doppio a quello di un integrale curvilineo di una forma differenziale lineare (e viceversa) quando sotto il segno di integrale doppio si riconosce una derivata parziale.

Queste due formule hanno diverse notevoli conseguenze.
Innanzitutto, sono equivalenti al teorema della divergenza, i.e. alla formula:
\[
\iint_D \operatorname{div} \mathbf{F} (x,y)\ \text{d} x\text{d} y = \int_{+\partial D} \mathbf{F} \cdot \nu\ \text{d} \sigma
\]
in cui:


[*:2pd09m4c] $D$ è come sopra,
[/*:m:2pd09m4c]
[*:2pd09m4c] \( \mathbf{F} (x,y) = (a(x,y) , b(x,y))\) è un campo vettoriale "sufficientemente regolare" definito in un aperto contenente $D$,
[/*:m:2pd09m4c]
[*:2pd09m4c] \(\operatorname{div} \mathbf{F} := a_x + b_y = \nabla \cdot \mathbf{F}\) è l'operatore di divergenza (i pedici denotano sempre derivazione parziale),
[/*:m:2pd09m4c]
[*:2pd09m4c] $*$ è il prodotto scalare canonico su $RR^2$,
[/*:m:2pd09m4c]
[*:2pd09m4c] $\nu$ è il versore normale esterno alla frontiera di $D$ e
[/*:m:2pd09m4c]
[*:2pd09m4c] $"d" sigma$ è la misura corrente sulla curva $partial D$.[/*:m:2pd09m4c][/list:u:2pd09m4c]

L'integrale a secondo membro è il flusso uscente da $\partial D$ del campo $mathbf(F)$, quindi "fisicamente" il teorema della divergenza si usa quando si vuole calcolare il flusso di un campo (che è un integrale curvilineo) sfruttando un integrale doppio; "matematicamente", invece, il teorema si usa per lo più a rovescio (per passare da un integrale doppio ad un integrale curvilineo) e specialmente nella teoria delle equazioni alle derivate parziali.

Una conseguenza interessante delle formule di Gauss & Green è anche il seguente teorema di Green (o formula di Stokes nel piano):
\[
\int_{+\partial D} a(x,y)\ \text{d} x + b(x,y)\ \text{d} y = \iint_D \Big( b_x (x,y) - a_y (x,y)\Big)\ \text{d} x\text{d} y
\]
in cui:


[*:2pd09m4c] $D$ è come sopra e
[/*:m:2pd09m4c]
[*:2pd09m4c] $a,b$ sono funzioni "sufficientemente regolari" definite in un aperto contenente $D$.[/*:m:2pd09m4c][/list:u:2pd09m4c]

L'integrale curvilineo al primo membro è il lavoro del campo vettoriale $mathbf(G) = (a,b)$ lungo $\partial D$, quindi "fisicamente" il teorema fornisce un modo per calcolare il lavoro del campo sfruttando un integrale doppio... Ed è fondamentalmente il teorema della divergenza scritto per $mathbf(F)=(b,-a)$.

[andreacavagna22]

Grazie infinite