Teorema Gauss-Green applicazione
salve io avrei questo esercizio, ma non so come procedere mi potete dare qualche consiglio?
"applicare il teorema di Gauss-Green per calcolare area e baricentro della regione limitata dalla curva $gamma$; $gamma$ è composta dal segemento di estremi $A=(-1,0)$ , $B=(1,0)$, dal quarto di circonferenza $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ da $B$ a $C=(1,0)$ e infine dall'arco di parabola $y=-x^2+1$ da $C$ a $A$"
per il teorema di Gauss-Green ho che:
$\int int_D (delF_2)/(delx) - (delF_1)/(dely)dxdy = int_(delta^+D) F*Tds$
per calcolare l'area
pensavo quindi di considerare $F_1=y+x^2-1$ e $F_2=(x-1)^2+(y-1)^2-1$
e applicare la formula in questo modo:
$\int_A^C ((delF_2)/(delx) - (delF_1)/(dely))dxdy + int_C^B ((delF_2)/(delx) - (delF_1)/(dely))dxdy $
mi sapete dire se il procedimento è giusot?
"applicare il teorema di Gauss-Green per calcolare area e baricentro della regione limitata dalla curva $gamma$; $gamma$ è composta dal segemento di estremi $A=(-1,0)$ , $B=(1,0)$, dal quarto di circonferenza $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ da $B$ a $C=(1,0)$ e infine dall'arco di parabola $y=-x^2+1$ da $C$ a $A$"
per il teorema di Gauss-Green ho che:
$\int int_D (delF_2)/(delx) - (delF_1)/(dely)dxdy = int_(delta^+D) F*Tds$
per calcolare l'area
pensavo quindi di considerare $F_1=y+x^2-1$ e $F_2=(x-1)^2+(y-1)^2-1$
e applicare la formula in questo modo:
$\int_A^C ((delF_2)/(delx) - (delF_1)/(dely))dxdy + int_C^B ((delF_2)/(delx) - (delF_1)/(dely))dxdy $
mi sapete dire se il procedimento è giusot?
Risposte
Ragiona bene: per definizione questo integrale $\int\int_D dx\ dy$ calcola l'area di $D$. Per cui la scelta delle $F_j$ dovrebbe essere quantomeno diversa, non ti pare? Le funzioni che scrivi tu sono quelle che rappresentano il bordo del dominio e che, nel teorema che citi, non hanno niente a che fare con le funzioni da integrare (che possono essere ciò che ti pare).
non so se sto sbagliando...
per esempio considerando la $F_1$ posso prendere $int_(delta Sigma)y*x+x^3/3+x dx$?
altrimenti mi sa che non ho proprio capito
per esempio considerando la $F_1$ posso prendere $int_(delta Sigma)y*x+x^3/3+x dx$?
altrimenti mi sa che non ho proprio capito
Ma tu leggi quello che ti viene scritto? Se ti dico che $\int\int_D dx\ dy$ rappresenta l'area di $D$, quanto deve valere $\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}$????
$2*(x-1) -1$ giusto?
No, deve valere 1.
perche scusa?
Perché se questo integrale
$$\int\int_D \left(\frac{\partial F_2}{\partial y}-\frac{\partial F_1}{\partial x}\right)\ dx\ dy$$
deve calcolare l'area di $D$, che per definizione è questo integrale
$$\int\int_D dx\ dy$$
quella roba tra parentesi quanto deve valere? Ma io mi pongo una domanda: la Teoria, questa sconosciuta, la vogliamo leggere prima di metterci a fare esercizi? Perché altrimenti, ti avviso, è tutto inutile!
$$\int\int_D \left(\frac{\partial F_2}{\partial y}-\frac{\partial F_1}{\partial x}\right)\ dx\ dy$$
deve calcolare l'area di $D$, che per definizione è questo integrale
$$\int\int_D dx\ dy$$
quella roba tra parentesi quanto deve valere? Ma io mi pongo una domanda: la Teoria, questa sconosciuta, la vogliamo leggere prima di metterci a fare esercizi? Perché altrimenti, ti avviso, è tutto inutile!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo