Teorema Gauss- Green

[streghettaalice]

Devo dimostrare il teorema di Gauss - Green : $ int int _D( \partialQ)/(\partialx) - ( \partialP)/(\partialy) dxdy= int _(\partialD) Pdx+Qdy$, $\partialD$= frontiera di D , derivandolo dal teorma della divergenza( per integrali doppi nel caso di D normale rispetto a x).
Allora ho pensato per teorma della divergenza ho che $ int int _D( \partialQ)/(\partialx) - ( \partialP)/(\partialy) dxdy= int _(\partialD) Q \nu _x - P \nu_y$( ho chiamato per semplificare $\nu$ i versori normali esterni ad D).
Però mi manca un passaggio per la tesi e cioè dimostrare l'uguaglianza : $int_(\partialD) Q \nu _x - P \nu_y=int _(\partialD) Pdx+Qdy$ come devo fare?

[dissonance]

Aggiungi il \(ds\) negli integrali su \(\partial D\), che senza non hanno troppo senso. Si tratta ora di dimostrare che \(\nu_xds=dy, \nu_yds=-dx\). Però ti ricorderai che, detto \(t=(t_x, t_y)\) il versore tangente, c'è una relazione tra \(t\) e \(\nu\): il secondo è ruotato di \(\pi/2\) rispetto al primo. Ti basta applicare questa relazione e infine usare l'identità \(t_xds=dx, t_yds=dy\).

[streghettaalice]

scusa l'errore.. cmq non ho ben capito di che relazione parli ( a meno che non l'abbiamo fatta e quindi non posso applicarla) .. stavo pensando di applicare magari la definzione di integrale superficiale o parmetrizzazione della curva e magari così trovarmi quella uguaglianza ma non so da dove iniziare..

[dissonance]

Ma si che l'avete fatta, sennò come faresti a parlare di versore normale? Il versore normale uscente è ruotato di 90° in senso orario rispetto al versore tangente, un disegnino e lo capisci immediatamente. Scrivi analiticamente questa relazione e poi procedi come sopra.

[streghettaalice]

allora per iniziare se $ \ gamma' $ è vettore tangente avrò sicuramente che$\nu= (\gamma '_2,-gamma'_1 )/ ||\gamma'||$ (perchè sono ortogonali..) praticamente lo faccio ruotare in senso antiorario perchè orientata positivamente..
quindi ( per definizione integrale superficiale?? ) ho che:
$int _(\partial D) (Q\nu_x - P\nu_y) ds= int _\gamma(( Qo \gamma )\nu_x + (Po \gamma )\nu_y) ||\gamma||' dt = int _ ( \partial D) Pdx+Qdy$
come va così?

[dissonance]

Il concetto è quello ma le formule non le capisco. Che cosa significa

\[\nu=\frac{\gamma'_2-\gamma'_1}{\lVert \gamma'\rVert}?\]

[streghettaalice]

cioè $ \nu =$ ($( \gamma' _2, \- gamma'_1)$)$ / || gamma||'$ perchè cosi cmq risulta perpendicolare a $ \gamma '= (\gamma' _1, \ gamma'_2)$ perchè prodotto scalare sarà pari a 0.

[dissonance]

Ah si ok il parser s'era mangiato le parentesi. Allora va bene.

[streghettaalice]

"streghettaalice":quindi ( per definizione integrale superficiale?? ) ho che:
$int _(\partial D) (Q\nu_x - P\nu_y) ds= int _\gamma(( Qo \gamma )\nu_x + (Po \gamma )\nu_y) ||\gamma||' dt = int _ ( \partial D) Pdx+Qdy$
come va così?

ma la prima uguaglianza per la definizione che ho detto la ottengo ? perchè non mi sembra molto giusta..
non so più che altro se è giusto integrarla su $\gamma$ visto che dovrei farlo sull'insieme su cui è definito $ \partial D$ per seguire la definzione di integrale superficiale alla lettera.. mi faccio sorgere dubbi da sola