Teorema funzione implicita
Verificare che l'equazione:
$x^3+y^3-3x+y=0$
definisce implicitamente una funzione $y=y(x)$ su tutto $\mathbb{R}$
in generale io, applicando il teorema della funzione implicita, sostituivo il punto nell'equazione data e e nella derivata parziole rispetto a $y$ e se la prima era uguale a zero e la seconda diversa da zero, dicevo che il teorema della funzione implicita era verificato .
In questo caso però non mi specifica il punto ma dice che la funzione $y=y(x)$ è definita implicitamente su tutto $\mathbb{R}$. Come procedo?
$x^3+y^3-3x+y=0$
definisce implicitamente una funzione $y=y(x)$ su tutto $\mathbb{R}$
in generale io, applicando il teorema della funzione implicita, sostituivo il punto nell'equazione data e e nella derivata parziole rispetto a $y$ e se la prima era uguale a zero e la seconda diversa da zero, dicevo che il teorema della funzione implicita era verificato .
In questo caso però non mi specifica il punto ma dice che la funzione $y=y(x)$ è definita implicitamente su tutto $\mathbb{R}$. Come procedo?
Risposte
Se consideri la funzione $f(x,y) = x^3+y^3-3x+y$ hai il gradiente $\nabla f =(3x^2-3, 3y^2+1)$.
Ora la componente verticale $3y^2+1$ non è mai nulla, quindi una qualsiasi curva non è mai verticale. (Gradiente e una curva di livello sono sempre ortogonali). Quindi la derivata della curva esiste sempre ed esiste anche la funzione, su tutto $RR$.
Ora la componente verticale $3y^2+1$ non è mai nulla, quindi una qualsiasi curva non è mai verticale. (Gradiente e una curva di livello sono sempre ortogonali). Quindi la derivata della curva esiste sempre ed esiste anche la funzione, su tutto $RR$.
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