Teorema fondamentale dell'aritmetica

[fabri66]

Dimostriamo l’unicità della fattorizzazione. Sia a il minimo numero che ammetta due
fattorizzazioni diverse:
a = p1p2 . . . pm = q1q2 . . . qn,
Allora p1 diverso da qi (1 = 1, 2, . . . , n), altrimenti potrei semplificare e ottenere un numero minore di a che ammette fattorizzazioni distinte.
Poniamo b = (q1 − p1)q2 . . . qn = a − p1q2 . . . qn < a.
Allora b è divisibile per p1; inoltre b ammette una fattorizzazione unica e perciò in questa fattorizzazione deve comparire p1.
Ma p1 è diverso da tutti i q e perciò dovrà essere un divisore di q1 −p1, cioè si può
scrivere q1 − p1 = p1c. Ma allora q1 = p1(c + 1) e, essendo q1 un primo, otteniamo c + 1 = 1, cioè q1 = p1. Ciò contraddice l'ipotesi iniziale


Della dimostrazione sopra citata, non capisco il passaggio in cui si afferma che b ammette una fattorizzazione unica.

Grazie a chi mi può dare un chiarimento.

[Sk_Anonymous]

Il numero b non puo' avere due fattorizzazioni diverse perche'
in tal caso ,essendo bsarebbe b il minimo numero capace di
due fattorizzazioni diverse contro l'ipotesi che tale numero sia invece a .
Archimede

[fabri66]

Grazie Karl!