Teorema fondamentale del calcolo integrale con estremi di integrazione scambiati
Buona sera,
la mia probabilmente è una domanda banale, ma preferisco togliermi il dubbio. Il primo enunciato del teorema fondamentale del calcolo integrale afferma che data una funzione $ f:[a,b]->R $ continua in $ (a,b) $ e definita la sua funzione integrale come $ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt $ con $ x in [a,b] $, allora $ F'(x_0) = f(x_0) $ con $ x_0 in [a,b] $. Ma se invece avessi $ F(x) = \int_{x}^{a} f(t) dt $ (gli estremi di integrazione sono sbagliati), è corretto affermare che $ F'(x_0) = -f(x_0) $ con $ x_0 \in [a,b] $ ? Grazie a tutti.
la mia probabilmente è una domanda banale, ma preferisco togliermi il dubbio. Il primo enunciato del teorema fondamentale del calcolo integrale afferma che data una funzione $ f:[a,b]->R $ continua in $ (a,b) $ e definita la sua funzione integrale come $ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt $ con $ x in [a,b] $, allora $ F'(x_0) = f(x_0) $ con $ x_0 in [a,b] $. Ma se invece avessi $ F(x) = \int_{x}^{a} f(t) dt $ (gli estremi di integrazione sono sbagliati), è corretto affermare che $ F'(x_0) = -f(x_0) $ con $ x_0 \in [a,b] $ ? Grazie a tutti.
Risposte
Sì. Perché si pone per definizione $\int_c^d f(t)\text{d}t=-\int_d^c f(t)\text{d}t$, e la derivata è lineare.
Occhio alla terminologia: non si usa dire "estremi di integrazione sbagliati". Quando $cd$, si dice che l'integrale $\int_c^d f(t)\text{d}t$ ha intervallo di integrazione $[c,d]$ negativamente orientato.
Occhio alla terminologia: non si usa dire "estremi di integrazione sbagliati". Quando $c
Ciao, grazie per la spiegazione (e scusa per il ritardo nella risposta)
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