Teorema fondamentale del calcolo integrale!!!
Ciao a tutti, non riesco a capire la parte finale della dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale.
Devo dimostrare che F'(t) = f(t).
Parto dicendo che F(c + h) - F(c) = $\int_{c}^{c+h} f(x) dx$.
Allora divido tutto per h e $(F(c + h) - F(c))/(h)$ = 1/h $\int_{c}^{c+h} f(x) dx$.
Ora VAL ASS $(F(c + h) - F(c))/(h)$ - f(c) = 1/h $\int_{c}^{c+h} f(x) - f(c) dx$.
Ora, sapendo che per la continuità vale VAL ASS f(x) - f(c) < $\epsilon$ trovo VAL ASS $(F(c + h) - F(c))/(h)$ - f(c) = 1/h $\int_{c}^{c+h} f(x) - f(c) dx$. < $\epsilon$.
Ciò perchè prova che la derivata destra della funzione integrale nel punto c è f(c)?
Devo dimostrare che F'(t) = f(t).
Parto dicendo che F(c + h) - F(c) = $\int_{c}^{c+h} f(x) dx$.
Allora divido tutto per h e $(F(c + h) - F(c))/(h)$ = 1/h $\int_{c}^{c+h} f(x) dx$.
Ora VAL ASS $(F(c + h) - F(c))/(h)$ - f(c) = 1/h $\int_{c}^{c+h} f(x) - f(c) dx$.
Ora, sapendo che per la continuità vale VAL ASS f(x) - f(c) < $\epsilon$ trovo VAL ASS $(F(c + h) - F(c))/(h)$ - f(c) = 1/h $\int_{c}^{c+h} f(x) - f(c) dx$. < $\epsilon$.
Ciò perchè prova che la derivata destra della funzione integrale nel punto c è f(c)?
Risposte
La dimostrazione non fa una piega, solo che sei costretto a dimostrare anche la derivata sinistra, per dire che è derivabile, anche se la dimostrazione è pressochè identica, c'è ne' una un po' più sofisticata(si fa per dire) che ti unifica i due casi. Ma questa va bene.
Se usi il tag [tex] puoi ottenere una scrittura più leggibile, oppuri circonda le espressioni con \$.
Se usi il tag [tex] puoi ottenere una scrittura più leggibile, oppuri circonda le espressioni con \$.
Si è vero, ma nn riesco a capire la parte finale, cioè, al primo membro c'è il rapporto incrementale, ma la disuguaglianza cosa mi dice?
"Ti dice" che in corrispondenza di [tex]\epsilon[/tex], puoi trovare, data la continuità [tex]f(x)[/tex] in [tex]c[/tex], un [tex]\delta[/tex] tale per cui per [tex]0< h <\delta[/tex] vale l'ultima disugaglianza, questo perchè quel [tex]\delta[/tex] l'hai assunto di modo che [tex]|f(x)-f(c)| < \epsilon[/tex] quando [tex]x-c <=h[/tex].
PS
Ricordati che il modulo dell'integrale di una funzione è minore al più uguale all'integrale del modulo della funzione.
PS
Ricordati che il modulo dell'integrale di una funzione è minore al più uguale all'integrale del modulo della funzione.
Sisi ok, ma quel che nn capisco è come si arriva a dire, con l'ultima relazione, che il la derivata destra della fne integrale in c è = f(c)...
Qui però stiamo tornando indietro: stai considerando il modulo dell'espressione iniziale, cioè a questo punto stai considerando un limite, che hai appena dimostrato essere [tex]f(c)[/tex], e per la precisione il limite di un rapporto incrementale nel quale [tex]h > 0[/tex], e quindi stai considerando la definizione di limite destro di un funzione(rapporto incrementale) nell'origine.
Hai ragione, ho capito ora... 
ti ringrazio molto 
ti ringrazio molto
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