Teorema fondamentale del calcolo - dubbio sulla dimostrazione
Buongiorno ragazzi.
Sto leggendo una dimostrazione del Teorema fondamentale del calcolo integrale in cui si utilizza il Teorema della media. Le notazioni sono standard, non sto a presentarle.
Fissato $x_0\in I$, si vuole provare che $F$ (la funzione integrale di $f$; quest'ultima si suppone continua) è derivabile in $x_0$ e si ha $F'(x_0)=f(x_0)$. Si valuta il rapporto incrementale di $F$; si osserva che
\[\dfrac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\dfrac{\int^x_{x_0}f(t)}{x-x_0}\stackrel{\text{Th. Media}}{=}f(z(x))\tag{1}\]
per un opportuno punto $z(x)\in (x_0,x)$ (si suppone $x>x_0$).
Quel che mi chiedo è: questa $z(x)$, presentata come una vera e propria funzione, come si costruisce? Il Teorema della media garantisce l'esistenza di almeno un punto $z$ tra $x_0$ e $x$ per cui valga $(1)$, ma ciò non esclude che ce ne possano essere infiniti. Si usa qualcosa tipo l'assioma della scelta o qualche altra diavoleria del genere? Oppure, che è probabile, mi sto perdendo in un bicchier d'acqua?
Grazie
Sto leggendo una dimostrazione del Teorema fondamentale del calcolo integrale in cui si utilizza il Teorema della media. Le notazioni sono standard, non sto a presentarle.
Fissato $x_0\in I$, si vuole provare che $F$ (la funzione integrale di $f$; quest'ultima si suppone continua) è derivabile in $x_0$ e si ha $F'(x_0)=f(x_0)$. Si valuta il rapporto incrementale di $F$; si osserva che
\[\dfrac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\dfrac{\int^x_{x_0}f(t)}{x-x_0}\stackrel{\text{Th. Media}}{=}f(z(x))\tag{1}\]
per un opportuno punto $z(x)\in (x_0,x)$ (si suppone $x>x_0$).
Quel che mi chiedo è: questa $z(x)$, presentata come una vera e propria funzione, come si costruisce? Il Teorema della media garantisce l'esistenza di almeno un punto $z$ tra $x_0$ e $x$ per cui valga $(1)$, ma ciò non esclude che ce ne possano essere infiniti. Si usa qualcosa tipo l'assioma della scelta o qualche altra diavoleria del genere? Oppure, che è probabile, mi sto perdendo in un bicchier d'acqua?
Grazie
Risposte
Mah, sì, si può usare AC.
La situazione è questa: per ogni \(x \in I^\prime :=I\setminus \{x_0\}\) non è vuoto l'insieme:
\[
Z_x:=\left\{z\in ]\min \{x,x_0\}, \max \{x,x_0\}[:\ f(z)=\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}\right\} \subseteq I\; ;
\]
considerata la famiglia \(\{Z_x\}_{x\in I^\prime}\), per AC è possibile costruire una funzione \(z:I^\prime \to I\) in modo che \(z(x)\in Z_x\) per ogni \(x\in I^\prime\).
E questo è quanto.
La situazione è questa: per ogni \(x \in I^\prime :=I\setminus \{x_0\}\) non è vuoto l'insieme:
\[
Z_x:=\left\{z\in ]\min \{x,x_0\}, \max \{x,x_0\}[:\ f(z)=\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}\right\} \subseteq I\; ;
\]
considerata la famiglia \(\{Z_x\}_{x\in I^\prime}\), per AC è possibile costruire una funzione \(z:I^\prime \to I\) in modo che \(z(x)\in Z_x\) per ogni \(x\in I^\prime\).
E questo è quanto.
Ottimo, grazie Gugo 
Curiositas:
si sarebbe potuto far diversamente?
Curiositas:
"gugo82":
si può usare AC
si sarebbe potuto far diversamente?
"Plepp":
Buongiorno ragazzi.
Sto leggendo una dimostrazione del Teorema fondamentale del calcolo integrale in cui si utilizza il Teorema della media. Le notazioni sono standard, non sto a presentarle.
Fissato $x_0\in I$, si vuole provare che $F$ (la funzione integrale di $f$; quest'ultima si suppone continua) è derivabile in $x_0$ e si ha $F'(x_0)=f(x_0)$. Si valuta il rapporto incrementale di $F$; si osserva che
\[\dfrac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\dfrac{\int^x_{x_0}f(t)}{x-x_0}\stackrel{\text{Th. Media}}{=}f(z(x))\tag{1}\]
per un opportuno punto $z(x)\in (x_0,x)$ (si suppone $x>x_0$).
Quel che mi chiedo è: questa $z(x)$, presentata come una vera e propria funzione, come si costruisce? Il Teorema della media garantisce l'esistenza di almeno un punto $z$ tra $x_0$ e $x$ per cui valga $(1)$, ma ciò non esclude che ce ne possano essere infiniti. Si usa qualcosa tipo l'assioma della scelta o qualche altra diavoleria del genere? Oppure, che è probabile, mi sto perdendo in un bicchier d'acqua?
Grazie
Ne approfitto per riguardare il Teorema fondamentale del calcolo integrale. Credo che tu ti riferisca al Teorema della Media Integrale. La media integrale, per definizione, è unica. La definizione è, detta m la media, e data una funzione f(x) e un intervallo [a, b] : $ m:= 1/(b-a)int_(a)^(b) f(x) dx $ .
Il teorema derlla media integrale ci dice che se laf (x) è continua la media integrale appartiene all'immagine di f(x), cioè esiste z in [a,b] tale che:
$ f(z)= 1/(b-a)int_(a)^(b) f(x) dx $ .
Nella tua formula ti appare z(x) come funzione di x, perché l'estremo di integrazione è x, e quindi z dipende da x, ma per ogni x z è unico.
Dio ci scampi e liberi dall'assioma della scelta!
@ Plepp: In casi specifici, sì; in generale, non credo.
Ma questa è comunque una sottigliezza sulla quale si sorvola spesso e volentieri, perché al primo anno non tutti conoscono AC e la sua importanza.
@ gabriella127:
Il problema è proprio quello: dato che nel Teorema della Media non c'è unicità, ma solo esistenza, in generale bisogna scegliere uno \(z\) tra i tanti; per questo si usa AC.
Ma questa è comunque una sottigliezza sulla quale si sorvola spesso e volentieri, perché al primo anno non tutti conoscono AC e la sua importanza.
@ gabriella127:
"garbiella127":
Nella tua formula ti appare z(x) come funzione di x, perché l'estremo di integrazione è x, e quindi z dipende da x, ma per ogni x z è unico.
Il problema è proprio quello: dato che nel Teorema della Media non c'è unicità, ma solo esistenza, in generale bisogna scegliere uno \(z\) tra i tanti; per questo si usa AC.
@Gugo: sì, in questo caso posso tranquillamente evitare di tirare in ballo la "$z(x)$" facendo dei discorsi sulle distanze tra i punti in gioco. Mi chiedevo più che altro se potessi costruire la $z(x)$ senza l'assioma della scelta.
E ancora grazie
E ancora grazie
@ Paolo90: Grazie per aver recuperato quel thread, di cui non ricordavo l'esistenza... In verità stavo provando una dimostrazione e stavo andando a parare circa da quelle parti lì.
@ Plepp: Scusa se col post precedente ti ho confuso le idee.
@ Plepp: Scusa se col post precedente ti ho confuso le idee.
@Gugo: confuso le idee? nah mi sembra tutto abbastanza chiaro: dell'assioma della scelta se ne può far tranquillamente a meno (qui c'ero già, prima di leggere il libro ho fatto la dimostrazione usando solo argomenti "metrici" - anche se così è un po' più seccante...); le mie curiosità riguardavano la $z(x)$ e la sua definizione, e discendevano anche dal fatto che il libro non spreca manco 'na parola a proposito (una nota a margine sarebbe stato l'ideale), quindi pensavo di sbagliare io... 
@Paolo: omgomg c'è parecchio da leggere! Tra l'altro in quel topic ne sono citati altri ugualmente interessanti! Grazie
mi sembra tutto abbastanza chiaro: dell'assioma della scelta se ne può far tranquillamente a meno (qui c'ero già, prima di leggere il libro ho fatto la dimostrazione usando solo argomenti "metrici" - anche se così è un po' più seccante...); le mie curiosità riguardavano la $z(x)$ e la sua definizione, e discendevano anche dal fatto che il libro non spreca manco 'na parola a proposito (una nota a margine sarebbe stato l'ideale), quindi pensavo di sbagliare io... @Paolo: omgomg c'è parecchio da leggere!
Tra l'altro in quel topic ne sono citati altri ugualmente interessanti! Grazie
Scusate, per capire, qualcosa mi sfugge. State parlando del Teorema fondamentale del calcolo integrale per l'integrale di Riemann?
Certo!
non so se mi confondo... scusate...La media integrale è una definizione, $ 1/(b-a)int_(a)^(b) f(x) dx $, se la f è positiva equivale a: l'altezza del rettangolo di base (b-a) e di area $ int_(a)^(b) f(x) dx $ . Data la f(x) e l'intervallo [a,b] è unica per definizione! Dire che non è unica è come dire che un rettangolo di base tot e area tot può avere varie altezze!
Il teorema della media integrale afferma l'esistenza (e non l'unicità) non della media integrale, ma di un punto $ xi in[a,b] $ tale che $ f(xi )= $ media integrale. $ xi $ può non essere unico,mentre la media integrale è quella che è (unica) per definizione. Gli $ xi $ possono essere anche infiniti, prendiamo il caso banale f(x)=cost, quindi media integrale=cost, gli $ xi $ sono infiniti poiché sono tutto l'intervallo [a,b]. Qual è il problema?
Saluti a tutti
Bene gabriella, ma chi ha mai osato dire qui che la media integrale non è unica? 
Il problema è un altro.
A meno di non aver interpretato male le tue parole, mi pare proprio che tu non abbia le idee molto chiare:
Nel post precedente affermi il contrario (e dici bene)
Il problema è un altro.A meno di non aver interpretato male le tue parole, mi pare proprio che tu non abbia le idee molto chiare:
"gabriella127":
Nella tua formula ti appare z(x) come funzione di x, perché l'estremo di integrazione è x, e quindi z dipende da x, ma per ogni x z è unico.
Nel post precedente affermi il contrario (e dici bene)
"gugo82":
@ gabriella127:
[quote="garbiella127"]Nella tua formula ti appare z(x) come funzione di x, perché l'estremo di integrazione è x, e quindi z dipende da x, ma per ogni x z è unico.
Il problema è proprio quello: dato che nel Teorema della Media non c'è unicità, ma solo esistenza, in generale bisogna scegliere uno \(z\) tra i tanti; per questo si usa AC.[/quote]
Per illustrare bene il concetto, propongo un esempio abbastanza banale.
Prendiamo \(f:[0,6\pi]\to \mathbb{R}\) definita ponendo \(f(x):=\sin x\).
Chiaramente \(f\) ha media nulla, poiché:
\[
\frac{1}{6\pi}\ \int_0^{6\pi} \sin x\ \text{d} x= -\frac{1}{6\pi}\ \cos x\Big|_0^{6\pi} = \frac{1}{6\pi}\ (1-1)=0\; .
\]
D'altra parte \(f\) soddisfa abbondantemente le ipotesi del TMI, perciò esiste qualche \(z\in [0,6\pi]\) tale che \(f(z)=0\).
Ma l'equazione \(f(z)=0\) può essere risolta esplicitamente: infatti:
\[
f(z) =0 \quad \Leftrightarrow \quad \sin z=0,\ z\in [0,6\pi] \quad \Leftrightarrow \quad z=0,\pi,2\pi,3\pi,4\pi,5\pi,6\pi\; .
\]
Quindi il TMI si guarda bene dal garantire l'unicità del punto \(z\) in cui \(f\) assume come valore quello della media integrale.
Ovviamente, le cose possono essere peggiorate ad libitum. Ad esempio, la funzione:
\[
u(x):= \begin{cases} \sin \frac{1}{x} &\text{, se } 0
\end{cases}
\]
ha media negativa e piccola (si dimostra che \(\pi \int_0^{1/\pi} u(x)\ \text{d} x \approx -0.23\)); dato che \(u\) oscilla indefinitamente intorno a \(0\) tra i valori \(\pm 1\), esistono infiniti punti \(z\in ]0,1/\pi[\) tali che \(u(z)=\text{media integrale di }u\).
Per Plepp:
Non c'è disaccordo! Se l'estremo di integrazione è fissato la media integrale è unica, se l'estremo varia, varia pure la media integrale!
Non c'è disaccordo! Se l'estremo di integrazione è fissato la media integrale è unica, se l'estremo varia, varia pure la media integrale!
"gabriella127":
Non c'è disaccordo! Se l'estremo di integrazione è fissato la media integrale è unica, se l'estremo varia, varia pure la media integrale!
E dalle...
Non discettavamo sull'unicità della media integrale, ma dell'unicità del punto in cui la funzione continua assume come valore il suo valore medio.
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