Teorema fondamentale calcolo integrale - assioma di scelta?
Osservate questa dimostrazione che è quella che si ritrova in un qualsiasi testo di analisi
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_fo ... _integrale (primo teorema)
nella dimostrazione si usa il teorema della media integrale quindi so che "per ogni h c'è un c"
ma il teorema non mi dice che è unico ....... quindi come si giustifica il fatto che successivamente si
considera la funzione $c_h$ ?
Si è usato implicitamente l'assioma di scelta?
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_fo ... _integrale (primo teorema)
nella dimostrazione si usa il teorema della media integrale quindi so che "per ogni h c'è un c"
ma il teorema non mi dice che è unico ....... quindi come si giustifica il fatto che successivamente si
considera la funzione $c_h$ ?
Si è usato implicitamente l'assioma di scelta?
Risposte
"gianni80":Direi di sì. Ma adattando (poco) la dimostrazione, si può evitare di ricorrere al teorema della media e quindi anche all'assioma della scelta.
nella dimostrazione si usa il teorema della media integrale quindi so che "per ogni h c'è un c"
ma il teorema non mi dice che è unico ....... quindi come si giustifica il fatto che successivamente si
considera la funzione $c_h$ ?
Si è usato implicitamente l'assioma di scelta?
grazie dissonance!
puoi riportarmi la dimostrazione che hai detto o darmi un link?
Come mai i testi tacciono sul fatto che si usa l'assioma di scelta per la dimostrazione?
Inoltre il tipo di ragionamento è presente in molte altre dimostrazioni!
Come aggirare questo ragionamento senza l'uso dell'assioma di scelta?
puoi riportarmi la dimostrazione che hai detto o darmi un link?
Come mai i testi tacciono sul fatto che si usa l'assioma di scelta per la dimostrazione?
Inoltre il tipo di ragionamento è presente in molte altre dimostrazioni!
Come aggirare questo ragionamento senza l'uso dell'assioma di scelta?
Sull'uso implicito dell'assioma della scelta ti consiglio questa discussione: https://www.matematicamente.it/forum/ass ... 40255.html
Per quanto riguarda la dimostrazione del teorema in questione, non è difficile da ottenere: con le notazioni di wikipedia, invece di considerare il rapporto incrementale $\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$, considera $|\frac{F(x+h)-F(x)}{h}-f(x)|$. Scrivendo $f(x)=1/h int_x^(x+h)f(x)\ "d"t$ si arriva alla disuguaglianza
$|\frac{F(x+h)-F(x)}{h}-f(x)|<="sup"{|f(t)-f(x)|\ :\ t\inRR, |t-x|<=|h| }$
Siccome $f$ è stata assunta continua in $x$, il secondo membro di questa disuguaglianza tende a $0$ quando $h\to0$, da cui la tesi.
P.S.: Per delle dimostrazioni alternative di questo teorema puoi consultare questo link.
Per quanto riguarda la dimostrazione del teorema in questione, non è difficile da ottenere: con le notazioni di wikipedia, invece di considerare il rapporto incrementale $\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$, considera $|\frac{F(x+h)-F(x)}{h}-f(x)|$. Scrivendo $f(x)=1/h int_x^(x+h)f(x)\ "d"t$ si arriva alla disuguaglianza
$|\frac{F(x+h)-F(x)}{h}-f(x)|<="sup"{|f(t)-f(x)|\ :\ t\inRR, |t-x|<=|h| }$
Siccome $f$ è stata assunta continua in $x$, il secondo membro di questa disuguaglianza tende a $0$ quando $h\to0$, da cui la tesi.
P.S.: Per delle dimostrazioni alternative di questo teorema puoi consultare questo link.
grazie molte
"gianni80":
grazie dissonance!
puoi riportarmi la dimostrazione che hai detto o darmi un link?
Come mai i testi tacciono sul fatto che si usa l'assioma di scelta per la dimostrazione?
Inoltre il tipo di ragionamento è presente in molte altre dimostrazioni!
Come aggirare questo ragionamento senza l'uso dell'assioma di scelta?
Aggiungo qualche commento a quanto gia' detto da altri.
Prima di tutto il fatto che il punto di Lagrange non sia unico non implica necessariamente che si debba usare l'assioma della scelta - bisognerebbe vedere se c'e un modo
"procedurale" di sceglierne uno.
In secundis, come ha gia' detto dissonance credo che l'assioma di scelta si annidi dentro la topologia e che togliendolo si perderebbero troppe proprieta' utilin(o perlomeno proprieta' a cui ci siamo abituati, vedi la continuita' sequenziale di cui si parlava). Ai tempi del thread di cui accenna dissonance mi incuriosii e detti un'occhiata a dei libri sull'argomento in cui si esaminavano sia le controindicazioni dell'assioma della scelta (per es. insiemi non misurabili ) sia quello che si perderebbe rinunciando ad AC (e c'era parecchia roba).
Purtroppo mi sono dimenticato quasi tutto
"ViciousGoblin":In quell'occasione citasti un libro che poi ho consultato, e mi è piaciuto tanto che lo richiamo qui: Axiom of Choice di Horst Herrlich.
[...]dei libri sull'argomento[...]
"dissonance":In quell'occasione citasti un libro che poi ho consultato, e mi è piaciuto tanto che lo richiamo qui: Axiom of Choice di Horst Herrlich.[/quote]
[quote="ViciousGoblin"][...]dei libri sull'argomento[...]
Grazie - in effetti cercavo proprio di ricordare il titolo di quel libro.
Puoi dirmi anche dove ho messo il cellulare
- come al solito non riesco a trovarlo ...
Non capisco perchè le dimostrazioni non lo citino esplicitamente lasciando il dubbio se si sta applicando l'assioma oppure no
Perché al matematico quadratico medio non gli interessa se si usa o no l'assioma di scelta.
Tanto di garanzie di non precipitare nel baratro della contraddizione non ne abbiamo, sia con che senza tale assioma.
Tanto di garanzie di non precipitare nel baratro della contraddizione non ne abbiamo, sia con che senza tale assioma.
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