Teorema esistenza locale di cauchy

[celeste4]

Ciao a tutti, scusate se disturbo ancora, ma non riesco a spiegarmi in modo chiaro perchè se tolgo l'ipotesi di Lipschitzianetà sulla seconda variabile al Teorema di Esistenza locale di Cauchy, allora non ho più l'unicità della soluzione al Problema di Cauchy..qualcuno saprebbe spiegarlo in modo chiaro e semplice?
grazie mille...

[Megan00b]

ciao.
Se consideri la dimostrazione che suppongo utilizzi il teorema delle contrazioni hai bisogno di tale condizione per mostrare che la funzione che manda una palla chiusa dello spazio delle funzioni continue nelle soluzioni dell'equazione integrale è una contrazione.

Al di là della dimostrazione quella è l'ìpotesi meno forte che serve ad assicurare regolarità alle soluzioni dell'equazione integrale.

Al di là dei paroloni: la locale Lipschitzianetà ti dice che per piccole variazioni nell'intervallo di definizione la funzione che definisce il sistema (o equazione) differenziale oltre ad essere continua è uniformemente continua. Da ciò deriva che la variabilità delle soluzioni in un intorno del contorno è a sua volta localmente uniformemente continua e dunque più "stringi" più le eventuali soluzioni diverse devono tendere a coincidere.

[irenze]

Se vuoi un controesempio all'unicità, c'è quello classico dell'equazione $y' = \sqrt{|y|}$, che ha infinite soluzioni se si pone la condizione iniziale $y(t_0) = 0$ (la funzione $\sqrt{|y|}$ non è localmente Lipschitziana vicino a $0$).
Puoi guardare qui a pagina 10.

Se invece vuoi solo capire cosa "fallisce" quando la funzione non è localmente Lipschitziana, Megan00b l'ha spiegato abbastanza bene, mi sembra.

[Megan00b]

Danke!

[celeste4]

Si, grazie irenze, non riuscivo a capire perché senza quell'ipotesi potesse ammettere anche infinite soluzioni, e quell'esempio è chiarificatore..
Grazie anche a te megan, avendo scelto questo teorema come argomento a scelta per il mio orale, più spiegazioni dettagliate ho su ogni minimo particolare, meglio è ...
.. grazie ancora!!:smt023