Teorema e $\lim_{x \to \infty}(1+1/x)^x=e, x\in\mathbb{R}$
Ristudiando i vecchi appunti di Analisi I studiati tanti anni fa, mi sono imbattuto in un teorema e in una sua conseguenza importante, che purtroppo non riesco a comprendere. L'enunciato del teorema "senza nome" e "senza dimostrazione" è il seguente:
Sia $f:]a,b[\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione. Allora $f(x)\rightarrow l$ per $x\rightarrow\hat{x}$ se e soltanto se $f(x_{n})\rightarrow l$ per ogni successione $(x_{n})$ tale che $x_{n}\rightarrow \hat{x}$ e tale che $x_{n}\ne\hat{x}$ definitivamente. In particolare $f$ è continua in $\hat{x}\in(a,b)$ se e soltanto se è continua per successioni, cioè se e soltanto se, per ogni successione $(x_{n})$ tale che $x_{n}\rightarrow \hat{x}$, si ha $f(x_{n})\rightarrowf(\hat{x})$ per $n\rightarrow\infty$.
Qualcuno sa di che teorema si tratti? Qualche dimostrazione in rete?
La cosa che però più mi sta a cuore è una delle conseguenze del teorema, che viene presentata velocemente e anch'essa senza dimostrazione, e che non riesco proprio a capire. Viene cioè citato il teorema per dire che si può utilizzare per dimostrare che
(*) $\lim_{x \to \infty}(1+1/x)^x=e$ con $x\in\mathbb{R}$
Dice infatti che per dimostrarlo basta ricordare che
$\lim_{n \to \infty}(1+1/n)^n=e$ con $n\in\mathbb{N}$
Dimostrare questo limite, attraverso qualche passaggio algebrico col Binomio di Newton, mi riesce, ma il primo? Dice infatti una riga dopo che
Se $a_{n}\rightarrow+\infty$ per $n\rightarrow+\infty$, allora
$\lim_{n \to \infty}(1+1/a_{n})^(a_{n})=e$
e che quindi per il teorema sopra enunciato la (*) risulta vera. Sono d'accordo, a meno di riuscire a dimostrare quanto appena scritto per ogni $a_{n}$ generica. Ma la dimostrazione di tale limite per una generica successione che soddisfi $a_{n}\rightarrow\infty$ per $n\rightarrow\infty$ proprio mi sfugge.
Per infierire definitivamente, dice che si può mostrare che
$\lim_{x \to x_{0}}(1+1/f(x))^f(x)=e$
Dimostrare quest'ultima poi mi lascia molto perplesso.
Avete idea di come dimostrare questi limiti?
Non so da che parte iniziare...
Grazie.
Sia $f:]a,b[\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione. Allora $f(x)\rightarrow l$ per $x\rightarrow\hat{x}$ se e soltanto se $f(x_{n})\rightarrow l$ per ogni successione $(x_{n})$ tale che $x_{n}\rightarrow \hat{x}$ e tale che $x_{n}\ne\hat{x}$ definitivamente. In particolare $f$ è continua in $\hat{x}\in(a,b)$ se e soltanto se è continua per successioni, cioè se e soltanto se, per ogni successione $(x_{n})$ tale che $x_{n}\rightarrow \hat{x}$, si ha $f(x_{n})\rightarrowf(\hat{x})$ per $n\rightarrow\infty$.
Qualcuno sa di che teorema si tratti? Qualche dimostrazione in rete?
La cosa che però più mi sta a cuore è una delle conseguenze del teorema, che viene presentata velocemente e anch'essa senza dimostrazione, e che non riesco proprio a capire. Viene cioè citato il teorema per dire che si può utilizzare per dimostrare che
(*) $\lim_{x \to \infty}(1+1/x)^x=e$ con $x\in\mathbb{R}$
Dice infatti che per dimostrarlo basta ricordare che
$\lim_{n \to \infty}(1+1/n)^n=e$ con $n\in\mathbb{N}$
Dimostrare questo limite, attraverso qualche passaggio algebrico col Binomio di Newton, mi riesce, ma il primo? Dice infatti una riga dopo che
Se $a_{n}\rightarrow+\infty$ per $n\rightarrow+\infty$, allora
$\lim_{n \to \infty}(1+1/a_{n})^(a_{n})=e$
e che quindi per il teorema sopra enunciato la (*) risulta vera. Sono d'accordo, a meno di riuscire a dimostrare quanto appena scritto per ogni $a_{n}$ generica. Ma la dimostrazione di tale limite per una generica successione che soddisfi $a_{n}\rightarrow\infty$ per $n\rightarrow\infty$ proprio mi sfugge.
Per infierire definitivamente, dice che si può mostrare che
$\lim_{x \to x_{0}}(1+1/f(x))^f(x)=e$
Dimostrare quest'ultima poi mi lascia molto perplesso.
Avete idea di come dimostrare questi limiti?
Non so da che parte iniziare...
Grazie.
Risposte
"mc80":
...
Sia $f:]a,b[\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione. Allora $f(x)\rightarrow l$ per $x\rightarrow\hat{x}$ se e soltanto se $f(x_{n})\rightarrow l$ per ogni successione $(x_{n})$ tale che $x_{n}\rightarrow \hat{x}$ e tale che $x_{n}\ne\hat{x}$ definitivamente. In particolare $f$ è continua in $\hat{x}\in(a,b)$ se e soltanto se è continua per successioni, cioè se e soltanto se, per ogni successione $(x_{n})$ tale che $x_{n}\rightarrow \hat{x}$, si ha $f(x_{n})\rightarrowf(\hat{x})$ per $n\rightarrow\infty$.
Questa frase in rosso non è indispensabile, questo è il cosiddetto "teorema ponte"; ma alcuni matematici lo trovano orribile come nome.
Brevemente il teorema è così enunziabile:
Una funzione [tex]$f:(a;b)\to\mathbb{R}$[/tex] è continua in un punto [tex]$x_0\in(a;b)$[/tex] se e solo se ivi è sequenzialmente continua o continua per successioni.
Per dimostrare il limite notevole nel caso di [tex]$a_n \to +\infty$[/tex], ti conviene considerare il seguente limite:
Detta [tex]$[a_n]$[/tex] la parte intera della successione (ovviamente [tex]$[a_n] \to + \infty$[/tex]) calcoliamo [tex]$\lim_{n \to +\infty} \bigg(1+ \frac{1}{[a_n]}\bigg)^{[a_n]}$[/tex].
Hai già dimostrato che [tex]$\bigg(1+ \frac{1}{n}\bigg)^n$[/tex] ammette limite per [tex]$n \to + \infty$[/tex] (che si indica con [tex]$e$[/tex]).
Sfruttando la definizione di limite, [tex]$\forall \epsilon > 0$[/tex] esiste un indice [tex]$\nu$[/tex] tale che [tex]$- \epsilon < \bigg(1+ \frac{1}{n}\bigg)^n - e < \epsilon \quad \forall n > \nu$[/tex].
Quindi, per completare la dimostrazione, puoi tenere conto del fatto che la precedente vale per ogni intero maggiore di [tex]$\nu$[/tex].
Fatto questo, maggiora e minora opportunamente la tua generica successione [tex]$\bigg(1+ \frac{1}{a_n}\bigg)^{a_n}$[/tex], applicando poi il teorema del confronto.
Successivamente, puoi dimostrare l'asserto per [tex]$a_n \to -\infty$[/tex] (basta porre [tex]$a_n= -|a_n|$[/tex] che è vero definitivamente).
Per dimostrare il limite di funzione: [tex]$\lim_{x \to x_0} \bigg(1+ \frac{1}{f(x)}\bigg)^{f(x)}[/tex] (con [tex]$f(x) \stackrel{x \to x_o}{\to} \pm\infty$[/tex]), avendo già dimostrato l'asserto per [tex]$f(x)\equiv x$[/tex] (come hai giustamente notato tramite il teorema ponte), puoi sfruttare il teorema del limite di funzioni composte, quindi basta porre [tex]$y=f(x)$[/tex].
Detta [tex]$[a_n]$[/tex] la parte intera della successione (ovviamente [tex]$[a_n] \to + \infty$[/tex]) calcoliamo [tex]$\lim_{n \to +\infty} \bigg(1+ \frac{1}{[a_n]}\bigg)^{[a_n]}$[/tex].
Hai già dimostrato che [tex]$\bigg(1+ \frac{1}{n}\bigg)^n$[/tex] ammette limite per [tex]$n \to + \infty$[/tex] (che si indica con [tex]$e$[/tex]).
Sfruttando la definizione di limite, [tex]$\forall \epsilon > 0$[/tex] esiste un indice [tex]$\nu$[/tex] tale che [tex]$- \epsilon < \bigg(1+ \frac{1}{n}\bigg)^n - e < \epsilon \quad \forall n > \nu$[/tex].
Quindi, per completare la dimostrazione, puoi tenere conto del fatto che la precedente vale per ogni intero maggiore di [tex]$\nu$[/tex].
Fatto questo, maggiora e minora opportunamente la tua generica successione [tex]$\bigg(1+ \frac{1}{a_n}\bigg)^{a_n}$[/tex], applicando poi il teorema del confronto.
Successivamente, puoi dimostrare l'asserto per [tex]$a_n \to -\infty$[/tex] (basta porre [tex]$a_n= -|a_n|$[/tex] che è vero definitivamente).
Per dimostrare il limite di funzione: [tex]$\lim_{x \to x_0} \bigg(1+ \frac{1}{f(x)}\bigg)^{f(x)}[/tex] (con [tex]$f(x) \stackrel{x \to x_o}{\to} \pm\infty$[/tex]), avendo già dimostrato l'asserto per [tex]$f(x)\equiv x$[/tex] (come hai giustamente notato tramite il teorema ponte), puoi sfruttare il teorema del limite di funzioni composte, quindi basta porre [tex]$y=f(x)$[/tex].
Grazie mille per aver dato un nome al teorema (ho trovato un'eccellente dimostrazione di Gugo su questo forum).
E grazie mille per le idee per dimostrare i limiti notevoli "incogniti". Proverò a formalizzare i passaggi!
E grazie mille per le idee per dimostrare i limiti notevoli "incogniti". Proverò a formalizzare i passaggi!
Prego, di nulla! 
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