Teorema disuguaglianza triangolare

[erika861]

Ciao a tutti ho un orale a settembre con diversi teoremi da saper dimostare. Uno tra i tanti teoremi è il seguente:

"Disuguaglianza triangolare: per ogni x,y $in$ $RR$ si ha |x+y| $<=$ |x| + |y| "


Io avevo intenzione di esprimermi così:

Devo dimostrare che il modulo della somma è minore o uguale alla somma dei due moduli. Ricordando la definizione di valore assoluto e cioè:


$ |x| = {(x, if x>=0),(-x, if x<0)} $

Quindi sappiamo che per ogni x,y $in$ $RR$ succede sempre che $-|x|<= x <= |x|$

Ora prendendo x e y dalla definizione di valore assoluto otteniamo che:

$-|x|<= x <= |x|$
$-|y| <= y <= |y|$

se faccio la somma ottengo che:

$-|x|-|y| <= x+y <= |x|+|y| $

Quindi :

Se x+y >= 0 allora |x+y| = x+y

Se x+y < 0 allora |x+y| = - (x+y)

Quindi abbiamo dimostrato che:

-|x|-|y| <= x + y

Se moltiplico tutto per -1 otteniamo la tesi cioè che:

|x| + |y| >= - (x+y)

cioè:

|x| + |y| >= |x+y|




Le mie domande sono due: una e se come dimostrazioni e concetti mi sono espressa bene e poi non ho capito l'ultimo pezzo cioè da quando moltiplica per -1 come fa poi ad ottenere quello se potevate spiegarmelo passo passo perchè io faccio così e non mi trovo:

-|x|-|y| <= x+y

-|x|-|y| - (x+y) <= 0

moltiplico tutto per -1

|x|+|y| + (x+y) <= 0

|x| + |y| <= - (x+y)

[K.Lomax]

Moltiplichi tutto per $-1$ e non cambi di segno alla disequazione???

Esempio: se $2>=0$, $-2>=0$?

[erika861]

Grazie K.Lomax quindi ottengo:

-|x|-|y| -(x+y) <=0
|x|+|y|+(x+y) >= 0

ho cambiato segno e mi rimane

|x| + |y| > = - (x+y)

cioè

|x| + |y| > = |x+y|


giusto il metodo di ragionamento nel spiegare il teorema o devo aggiungere altro?

[mikhael]

Salve,
evitando di dilungarsi troppo, potresti anche dimostrarlo geometricamente; nel senso che il teorema in esame è detto appunto "disuguaglianza triangolare" proprio perché è equivalente a dire che in un triangolo la misura di un lato è minore o uguale alla somma degli altri due. E qui puoi concederti qualche libertà in più: puoi rifarti a una dimostrazione per assurdo (dicendo che invece il lato sia maggiore della somma degli altri due, per poi entrare in contrasto con le ipotesi) oppure basarti su due vettori "u"e "v" che sommati danno la diagonale del parallelogramma costruito sui due vettori e che misura appunto "u+v".
Saluti.