Teorema di Weirestrass

[Kashaman]

Th :
Sia $f : A -> RR$ , $A sube RR$ continua. $A$ compatto.
Allora $f$ ha massimo e minimo.

la dimostrazione che ho in mio possesso usa questo teoremi, che chiamerò lemma 1, lemma 2, di cui non trascriverò la dimostrazione .
Lemma 1
Siano $E_1,E_2$ spazi metrici. $A sube E_1$. $\phi : A -> E_1$ continua. $A$ compatto . Allora $f(A)$ è compatto.
Lemma 2
$A sube RR$.
$A $ compatto $<=> $ $A$ chiuso e limitato.

dim teorema
$f$ è continua ed $A$ è compatto, per il lemma 1 si ha che $f(A)$ è un compatto. Per il lemma 2 si ha allora che $f(A)$ è chiuso e limitato.
Per la limitatezza si ha che $s=SUP(f(A)), i=INF(f(A)) \in RR$.
La chiusura ci dice che $Dr(f(A)) sube f(A)$.
d'altra parte $s \in Dr(f(A)) uu f(A) sube f(A) => s \in f(A)$ , stessa cosa per $i$.
Dunque $f$ ha massimo e minimo.

domanda :
forse sarà banale , ma cosa mi assicura che $s$ , ad esempio, sta nei punti di accumulazione di $f(A)$ oppure in $f(A)$ stesso? questa cosa non mi è tanto chiara.

Grazie mille

[Paolo902]

"Kashaman":
forse sarà banale , ma cosa mi assicura che $s$ , ad esempio, sta nei punti di accumulazione di $f(A)$ oppure in $f(A)$ stesso? questa cosa non mi è tanto chiara.

La definizione stessa di estremo superiore.

[Rigel1]

Guarda bene la definizione di estremo superiore \(s\) per un insieme non vuoto limitato superiormente \(A\subset\mathbb{R}\): o \(s\) è un massimo (e dunque \(s\in A\)), oppure \(s\) è un punto di accumulazione di \(A\) (dal momento che, se \(s\not\in A\), allora per ogni \(\epsilon > 0\) esiste \(a\in A\) tale che \(s-\epsilon < a < s\)).

[Kashaman]

giusto ragazzi! non ci avevo pensato! grazie mille!