Teorema di Weierstrass
salve gente, vi pongo subito la mia perplessità.
Non riesco a capire la dimostrazione del teorema di Weierstrass. In pratica sto tizio dice che se una funzione è continua in \(\displaystyle [a,b] \) ed è limitata \(\displaystyle \Rightarrow \) ammette massimo \(\displaystyle x_{M} \) e minimo \(\displaystyle x_{m} \).
Nella dimostrazione vuole verificare il \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}{f(x_{n})}=M\) per una successione generica, quindi pone i due casi \(\displaystyle M=+\infty \) e \(\displaystyle M<+\infty \).
ecco, non capisco come fa a dire che il limite è verificato nei due casi
una volta ottenuto questo risultato so procedere poi utilizzando Bolzano-Weierstrass.
Grazie mille
Non riesco a capire la dimostrazione del teorema di Weierstrass. In pratica sto tizio dice che se una funzione è continua in \(\displaystyle [a,b] \) ed è limitata \(\displaystyle \Rightarrow \) ammette massimo \(\displaystyle x_{M} \) e minimo \(\displaystyle x_{m} \).
Nella dimostrazione vuole verificare il \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}{f(x_{n})}=M\) per una successione generica, quindi pone i due casi \(\displaystyle M=+\infty \) e \(\displaystyle M<+\infty \).
ecco, non capisco come fa a dire che il limite è verificato nei due casi
una volta ottenuto questo risultato so procedere poi utilizzando Bolzano-Weierstrass.
Grazie mille
Risposte
grazie alle proprietà degli estremi superiore/inferiore
questo è quello che dice anche il mio testo. ma non capisco questa proprietà... potresti illustrarmela meglio?
Chiamalo "tizio" una persona come Weierstrass xD
Comunque non so se ci vuole veramente l'ipotesi che la funzione debba essere limitata, io ho sempre messo tra le ipotesi solo che la funzione deve essere continua in $[a,b]$ (cioè in un intervallo chiuso e limitato). Per quanto riguarda le proprietà dell'estremo superiore e dell'estremo inferiore le trovi su un qualsiasi libro di analisi...
Comunque non so se ci vuole veramente l'ipotesi che la funzione debba essere limitata, io ho sempre messo tra le ipotesi solo che la funzione deve essere continua in $[a,b]$ (cioè in un intervallo chiuso e limitato). Per quanto riguarda le proprietà dell'estremo superiore e dell'estremo inferiore le trovi su un qualsiasi libro di analisi...
si vabè a volte lo chiamo anche Karl! xD
per il suo teorema non è necessario mettere tra le ipotesi che sia limitata, infatti basta dire che sia continua in \(\displaystyle [a,b] \) per poi dedurre che sia limitata. ma è una dimostrazione che non voglio affrontare, quindi la metto nelle ipotesi come fa il mio libro
le ho chiare le proprietà dell'estremo, ma non capisco come le utilizza nella dimostrazione! non ci arrivo proprio.. sob!
per il suo teorema non è necessario mettere tra le ipotesi che sia limitata, infatti basta dire che sia continua in \(\displaystyle [a,b] \) per poi dedurre che sia limitata. ma è una dimostrazione che non voglio affrontare, quindi la metto nelle ipotesi come fa il mio libro
le ho chiare le proprietà dell'estremo, ma non capisco come le utilizza nella dimostrazione!
non ci arrivo proprio.. sob!
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