Teorema di Weierstrass
Salve a tutti, ho difficoltà nella dimostrazione del suddetto teorema, quindi avevo pensato di postare quello che ho trovato in rete e poi commentare qualche passaggio. Inizio:
La tesi: Una funzione definita e continua in un intervallo $[a,b]$:
-è limitata inferiormente e superiormente.
-ammette massimo e minimo.
Inizio col dimostrare che la funzione è limitata(prendiamo il caso superiormente). Per fare ciò ipotizzo che la nostra $f$ non sia limitata superiormente; ciò equivale a dire che $AAninN^+$, $EEx_ninI:f(x_n)>n$ con $I=[a,b]$, dove a $n$ diversi corrispondono $x_n$ diversi. Così facendo costruiamo la successione $x_n$ che risulta essere limitata per via dell'intervallo $[a,b]$ per la quale vale il seguente limite :$\lim_{n \to \infty}f(x_n)=+\infty$ Per il teorema di Bolzano-Weierstrass da una successione limitata è possibile estrarre una successione convergente; noi chiamiamo $x_(n_k)$ quella estratta da $x_n$. Se $n\to\infty$ il limite di $x_(n_k)$ è $x'$. Dal momento che la funzione è continua per ipotesi, $f$ sarà continua anche nel punto $x'$, punto di convergenza di $x_(n_k)$. Quindi possiamo scrivere $\lim_{k \to \infty}f(x_(n_k))=f(x')$. In conclusione abbiamo estratto una successione convergente ( $f(x_(n_k))$ ) da una per ipotesi divergente ( $f(x_n)$), il che è impossibile. Deduciamo quindi che $f$ è LIMITATA.
Passiamo ora al secondo punto:
Dal momento che $f$ è limitata, l'estremo superiore della funzione, che chiamiamo $S$ è finito;ora puntiamo a dimostrare che $S in$ all'insieme dei valori che può assumere la funzione. Per definizione di estremo superiore, $AA n in N^+$ esiste un valore $y_n$ appartenente al codominio tale che : $S-1/n
Ovviamente fatemi presenti eventuali errori e/o ambiguità nella parte precedente...Vi ringrazio anticipatamente..
La tesi: Una funzione definita e continua in un intervallo $[a,b]$:
-è limitata inferiormente e superiormente.
-ammette massimo e minimo.
Inizio col dimostrare che la funzione è limitata(prendiamo il caso superiormente). Per fare ciò ipotizzo che la nostra $f$ non sia limitata superiormente; ciò equivale a dire che $AAninN^+$, $EEx_ninI:f(x_n)>n$ con $I=[a,b]$, dove a $n$ diversi corrispondono $x_n$ diversi. Così facendo costruiamo la successione $x_n$ che risulta essere limitata per via dell'intervallo $[a,b]$ per la quale vale il seguente limite :$\lim_{n \to \infty}f(x_n)=+\infty$ Per il teorema di Bolzano-Weierstrass da una successione limitata è possibile estrarre una successione convergente; noi chiamiamo $x_(n_k)$ quella estratta da $x_n$. Se $n\to\infty$ il limite di $x_(n_k)$ è $x'$. Dal momento che la funzione è continua per ipotesi, $f$ sarà continua anche nel punto $x'$, punto di convergenza di $x_(n_k)$. Quindi possiamo scrivere $\lim_{k \to \infty}f(x_(n_k))=f(x')$. In conclusione abbiamo estratto una successione convergente ( $f(x_(n_k))$ ) da una per ipotesi divergente ( $f(x_n)$), il che è impossibile. Deduciamo quindi che $f$ è LIMITATA.
Passiamo ora al secondo punto:
Dal momento che $f$ è limitata, l'estremo superiore della funzione, che chiamiamo $S$ è finito;ora puntiamo a dimostrare che $S in$ all'insieme dei valori che può assumere la funzione. Per definizione di estremo superiore, $AA n in N^+$ esiste un valore $y_n$ appartenente al codominio tale che : $S-1/n
Ovviamente fatemi presenti eventuali errori e/o ambiguità nella parte precedente...Vi ringrazio anticipatamente..
Risposte
\(f(x_{n_k})\) è una sottosuccessione di \(y_n\). Siccome la successione madre converge ad \(S\), pure tutte le sue estratte devono convergere ad \(S\). Per unicità del limite puoi concludere.
Ok, un'ultima cosa. Siamo costretti a introdurre $x_(n_k)$ perchè noi sappiamo solo che $x_n$ è limitata, ma non che è convergente, giusto?
Si.
Grazie mille!
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