Teorema di weierstrass

[nunzietta1]

ciao ragazzi! vorrei sapere il vostro parere circa questo problemino: sia f una funzione definita da (0,1) ,con 0 incluso e 1 escluso, a valori in R, continua in tale intervallo.
allora posso affermare che esiste una C appartenente a R tale che per ogni x dell'intervallo di definizione risulti f(x)>= C? cioè che C sia un minimo per f? secondo me no perchè non sono verificate le ipotesi di Weierstrass...il problema è che se considero la funzione 1/(1-x) ristretta a tale intervallo essa ammette un minimo in 0...dove è l'errore??
grazie mille

[codino75]

"nunzietta":.il problema è che se considero la funzione 1/(1-x) ristretta a tale intervallo essa ammette un minimo in 0...dove è l'errore??
grazie mille

ma, il fatto che ne hai trovata una che ammette minimo, non vuol dire che tutte ammettano minimo.
per esempio, se ci metti davanti un segno "meno" , la funzione del tuo esempio dovrebbe andare a -oo per x->1

[_Tipper]

Sotto queste ipotesi, non puoi essere sicura, in generale, delll'esistenza di $C$. Prendi la funzione $f: [0, 1) \to \mathbb{R}: x \mapsto \frac{1}{x-1}$, in questo caso non puoi trovare un tale $C$, semplicemente perché $f$ è inferiormente illimitata. Ciò non toglie che esistano casi in cui esista $C$ di modo che sia soddisfatta la relazione che hai scritto.

Se invece il teorema di Weierstrass fosse soddisfatto allora esisterebbe sempre $C$ tale che $f(x) \ge C$ per ogni $x$ nell'intervallo.

EDIT: preceduto da codino.

[nunzietta1]

ok grazie mille..dunque se ho capito bene il fatto che le ipotesi di weierstrass non siano verificate non esclude la possibilità che vi siano dei massimi o dei minimi...in altre parole le condizioni di weierstrass sono sufficienti ma non necessarie giusto?

[codino75]

si', il teorema afferma delle cose se una funzione e' definita in [a,b] , non dice nulla se invece e' definita in [a,b)

[Gringoire1]

Puoi prendere un sottoinsieme di X (il tuo insieme di definizione) tale che X' = [a,b-epsilon] tale che X' sia chiuso e limitato.
per il teorema di weierstrass, Esiste max e minimo per f (x) tra f(a) e f(b-epsilon). In X, puoi pertanto dimostrare che di sicuro esiste min, ma non per forza esiste max. Puoi però dire che se Esiste il max, diverso da b-epsilon allora sicuramente la f ammette anche max.