Teorema di Weierstrass
Ciao a tutti,
non riesco a capire perchè con questa dimostrazione si afferma che l'estremo superiore di $[a,b]$ è anche il massimo dell'intervallo.
Praticamente dimostro il teorema ponendo M=estremo superiore(F(x))
Adesso verifico che esiste una successione Xn tale che
$lim n->+oo F(Xn) = M$
Poi qui nn mi è tanto chiaro il perchè, ma sappiamo che se $M<+oo$ allora $ M-1/n
Per il teorema di Bolzano weierstrass data una sucecssione limitata, esiste almeno una sua estratta convergente quindi
$Xnk -> X0$ e poichè la $f(x)$ è continua ne segue $f(xnk) ->f(X0)$
allora se $M=lim f(Xn)=lim f(Xnk) = f(X0)$ , $f(X0) = M$ e fino a qui ci siamo pure.
Però poi il libro specifica che questo implica quindi che $M < +oo$ e che l'estremo superiore è in effetti il massimo dell'intervallo. Ma perchè è anche il massimo? nn riesco a capire l'ultimo passaggio.
Grazie mille !
non riesco a capire perchè con questa dimostrazione si afferma che l'estremo superiore di $[a,b]$ è anche il massimo dell'intervallo.
Praticamente dimostro il teorema ponendo M=estremo superiore(F(x))
Adesso verifico che esiste una successione Xn tale che
$lim n->+oo F(Xn) = M$
Poi qui nn mi è tanto chiaro il perchè, ma sappiamo che se $M<+oo$ allora $ M-1/n
Per il teorema di Bolzano weierstrass data una sucecssione limitata, esiste almeno una sua estratta convergente quindi
$Xnk -> X0$ e poichè la $f(x)$ è continua ne segue $f(xnk) ->f(X0)$
allora se $M=lim f(Xn)=lim f(Xnk) = f(X0)$ , $f(X0) = M$ e fino a qui ci siamo pure.
Però poi il libro specifica che questo implica quindi che $M < +oo$ e che l'estremo superiore è in effetti il massimo dell'intervallo. Ma perchè è anche il massimo? nn riesco a capire l'ultimo passaggio.
Grazie mille !
Risposte
da una lettura veloce direi che è massimo perchè l'intervallo è chiuso e limitato. (infatti $f(x_0)=M$, sai che f è continua e quindi $M=\Sup\(f(x)\in\f([a,b])$ che è un intervallo, quindi M è massimo)
La cosa è molto più banale.... $f(x_0)=M$ per cui l'estremo superiore è assunto in $x_0$. Ne segue che $M$ il massimo per definizione.
"Luca.Lussardi":
La cosa è molto più banale.... $f(x_0)=M$ per cui l'estremo superiore è assunto in $x_0$. Ne segue che $M$ il massimo per definizione.
Ciao luca,
intanto grazie per la risposta. Si anche il libro dice praticamente lo stesso ma proprio nn capisco perchè
$f(X0)$ è il massimo...
"Sergio":
L'estremo superiore di un insieme è anche il massimo se appartiene all'insieme.
Se $f(x_0)=M$, allora $M in f([a,b])$, quindi è il massimo.
Ah ok adesso è chiaro, non sapevo che se appartiene all'insieme è anche il massimo.
Grazie mille!
"Marshal87":
Adesso verifico che esiste una successione Xn tale che
$lim n->+oo F(Xn) = M$
Non ho ben capito se questo t'è chiaro, sai costruire la successione? O sai che si può farlo? Bisogna sfruttare la definizione di M..
"Gaal Dornick":
[quote="Marshal87"]Adesso verifico che esiste una successione Xn tale che
$lim n->+oo F(Xn) = M$
Non ho ben capito se questo t'è chiaro, sai costruire la successione? O sai che si può farlo? Bisogna sfruttare la definizione di M..[/quote]
Non è chiaro il perchè di $M<+oo$ allora $M-1/n<=f(Xn)<=;M$
Ma in realtà, spero di non sbagliarmi, anche se M tende ad infinito la successione converge sempre a M(in quanto M è il suo estremo superiore) quindi non c'è poblema.
Sbaglio?
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