TEOREMA DI UNICITA' DEL LIMITE DI UNA SUCCESSIONE
so che per voi sarà una sciocchezza ma qualcuno potrebbe spiegarmi la dimostrazione del teorema di unicità del limite di una successione ?? Ho girato su internet ma le dimostrazioni sono chiare solo per quanto riguarda quello sulle funzioni.
grazie mille
grazie mille
Risposte
Il teorema da te citato in sostanza afferma che se $x_n$ è una successione a valori reali, convergente a $c_1$ e $c_2$ allora $c_1=c_2$.
La dimostrazione è semplice ricordando la proprietà di Haudorff (che se vuoi ti dimostrero') che in sostanza afferma che se $x$ e $y$ sono due numeri reali, allora $EE r>0 : I(x,r) nnn I(y,r) = O/$ (leggi I(x,r) come "intorno centrato in x di raggio r)
Passiamo ora alla dimostrazione dell unicità del limite.
Sia quindi $x_n$ una successione a valori reali convergente, e supponiamo per assurdo $c_1 !=c_2$
Per la proprietà di haudorff $EE r>0 : I(c_1,r) nnn I(c_2,r) = O/$
Ma visto che la successione converge a $c_1$, definitivamente si ha che $x_n in I(c_1,r)$. Analogamente, poichè la successione converge a $c_2$ definitivamente si ha che $x_n in I(c_2,r)$. Quindi definititivamente $x_n in I(c_1,r) nnn I(c_2,r) = O/$. Assurdo, e il teorema è dimostrato. Se hai dubbi chiedi pure, ciao !
La dimostrazione è semplice ricordando la proprietà di Haudorff (che se vuoi ti dimostrero') che in sostanza afferma che se $x$ e $y$ sono due numeri reali, allora $EE r>0 : I(x,r) nnn I(y,r) = O/$ (leggi I(x,r) come "intorno centrato in x di raggio r)
Passiamo ora alla dimostrazione dell unicità del limite.
Sia quindi $x_n$ una successione a valori reali convergente, e supponiamo per assurdo $c_1 !=c_2$
Per la proprietà di haudorff $EE r>0 : I(c_1,r) nnn I(c_2,r) = O/$
Ma visto che la successione converge a $c_1$, definitivamente si ha che $x_n in I(c_1,r)$. Analogamente, poichè la successione converge a $c_2$ definitivamente si ha che $x_n in I(c_2,r)$. Quindi definititivamente $x_n in I(c_1,r) nnn I(c_2,r) = O/$. Assurdo, e il teorema è dimostrato. Se hai dubbi chiedi pure, ciao !
Evisu86 ti ringrazio sei stato gentilissimo...ma purtroppo la proprietà di Haudorff non è presente nel programma...non so se mi conviene portarla cmq all'esame...sul libro c'è una dimostrazione con la disuguaglianza triangolare...ma nn è molto chiara 
Comunque grazie ancora
Comunque grazie ancora
Ciao ily, non vedo che male cè se porti la proprietà di Haudorff all'esame, l'importante è che la sai dimostrare e non penso il tuo prof si lamenterà. Sto pensando a una dimostrazione che non ne faccia uso, in ogni caso se provi a scrivere quella del tuo libro proviamo a ragionarci su !
Allora semplicemente, sempre per assurdo supponiamo $c_1 != c_2$.
Essendo i due valori diversi la loro distanza sarà pari
a : $d = |c_1 - c_2|$
Tenendo sempre presente la definizione di limite basta porre :
$epsilon = d/2$.
Ma allora si dovrà avere contemporaneamente:
$|x_n - l_1 |< epsilon
$ | x_n - l_2 |< epsilon $
Ma questo è impossibile per come abbiamo scelto $epsilon$ e il gioco è fatto.
Mi sembra che anche questa dim. possa andare bene, anche se sinceramente mi piaceva di piu l'altra, nonostante concettualmente siano identiche.
Essendo i due valori diversi la loro distanza sarà pari
a : $d = |c_1 - c_2|$
Tenendo sempre presente la definizione di limite basta porre :
$epsilon = d/2$.
Ma allora si dovrà avere contemporaneamente:
$|x_n - l_1 |< epsilon
$ | x_n - l_2 |< epsilon $
Ma questo è impossibile per come abbiamo scelto $epsilon$ e il gioco è fatto.
Mi sembra che anche questa dim. possa andare bene, anche se sinceramente mi piaceva di piu l'altra, nonostante concettualmente siano identiche.
Riporto una dimostrazione che ho usato già altre volte (per completezza).
Teorema dell'unicità del limite:
Se una funzione $f(x)$, per $x$ tendente a $x_0$ (o a $+oo$ o a $-oo$), ammette limite, questo è unico.
Per dimostrare questo teorema ragioniamo per assurdo; neghiamo cioè l'unicità del limite e supponiamo che la funzione $f(x)$, per $x$ tendente a $x_0$ ad esempio, ammetta due diversi limiti finiti $l_1$ ed $l_2$; supponiamo cioè che sia:
$lim_{x to x_0} f(x)=l_1$ e $lim_{x to x_0} f(x)=l_2$
e mostriamo quindi che questa ipotesi conduce ad un assurdo.
Se entrambe le espressioni scritte sono vere, prefissato un qualunque numero $epsilon>0$, si potrà determinare un intorno di $x_0$ tale che per ogni $x$ di tale intorno sia:
$|f(x)-l_1|
ed un secondo intorno $x_0$ tale che per ogni $x$ di tale intorno sia: $|f(x)-l_2|
$l_2-epsilon
Supponiamo $l_2>l_1$ e prendiamo $epsilon=(l_2-l_1)/2$. Nella parte comune dei detti intorni dovranno valere, simultaneamente, la [1] e la [2]; in questa parte comune sarà quindi certamente:
$l_2-epsilon(l_2-l_1)/2$
Ma quest'ultima disuguaglianza è assurda poichè si è supposto $epsilon=(l_2-l_1)/2$; è quindi assurda l'ipotesi che possano esistere due divirsi limiti finiti $l_1$ ed $l_2$.
Teorema dell'unicità del limite:
Se una funzione $f(x)$, per $x$ tendente a $x_0$ (o a $+oo$ o a $-oo$), ammette limite, questo è unico.
Per dimostrare questo teorema ragioniamo per assurdo; neghiamo cioè l'unicità del limite e supponiamo che la funzione $f(x)$, per $x$ tendente a $x_0$ ad esempio, ammetta due diversi limiti finiti $l_1$ ed $l_2$; supponiamo cioè che sia:
$lim_{x to x_0} f(x)=l_1$ e $lim_{x to x_0} f(x)=l_2$
e mostriamo quindi che questa ipotesi conduce ad un assurdo.
Se entrambe le espressioni scritte sono vere, prefissato un qualunque numero $epsilon>0$, si potrà determinare un intorno di $x_0$ tale che per ogni $x$ di tale intorno sia:
$|f(x)-l_1|
ed un secondo intorno $x_0$ tale che per ogni $x$ di tale intorno sia: $|f(x)-l_2|
$l_2-epsilon
Supponiamo $l_2>l_1$ e prendiamo $epsilon=(l_2-l_1)/2$. Nella parte comune dei detti intorni dovranno valere, simultaneamente, la [1] e la [2]; in questa parte comune sarà quindi certamente:
$l_2-epsilon
Ma quest'ultima disuguaglianza è assurda poichè si è supposto $epsilon=(l_2-l_1)/2$; è quindi assurda l'ipotesi che possano esistere due divirsi limiti finiti $l_1$ ed $l_2$.
grazie
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