Teorema di Taylor
Ciao a tutti,
sto cercando di capire se è vero che l'enunciato del teorema di Taylor (resto secondo Peano) è equivalente a scrivere che
\[ f(x) \sim T_{n,x_0}(x) \qquad \text{per } x \to x_0 \]
In pratica l'enunciato originale sarebbe
\[ f(x) - T_{n,x_0}(x) \in o((x-x_0)^n) \]
pertanto se riesco a provare che \( T_{n,x_0}(x) \sim (x-x_0)^n \) per \( x \to x_0 \) sono a cavallo, perché questo porterebbe a dire che per \( x \to x_0 \)
\[ f(x) - T_{n,x_0}(x) \in o(T_{n,x_0}(x)) \]
Devo quindi mostrare che
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}{(x-x_0)^n} = 1 \]
Ma non mi sembra vero così ad occhio, dato che otterrei una roba del tipo
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}{(x-x_0)^n} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)}{(x-x_0)^n} \ne 1 \]
Qualcuno mi sa spiegare?
sto cercando di capire se è vero che l'enunciato del teorema di Taylor (resto secondo Peano) è equivalente a scrivere che
\[ f(x) \sim T_{n,x_0}(x) \qquad \text{per } x \to x_0 \]
In pratica l'enunciato originale sarebbe
\[ f(x) - T_{n,x_0}(x) \in o((x-x_0)^n) \]
pertanto se riesco a provare che \( T_{n,x_0}(x) \sim (x-x_0)^n \) per \( x \to x_0 \) sono a cavallo, perché questo porterebbe a dire che per \( x \to x_0 \)
\[ f(x) - T_{n,x_0}(x) \in o(T_{n,x_0}(x)) \]
Devo quindi mostrare che
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}{(x-x_0)^n} = 1 \]
Ma non mi sembra vero così ad occhio, dato che otterrei una roba del tipo
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}{(x-x_0)^n} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0)}{(x-x_0)^n} \ne 1 \]
Qualcuno mi sa spiegare?
Risposte
Devi usare de l'Hopital...
Se intendi De l'Hopital applicato \( n \) volte mi viene comunque qualcosa di diverso da 1 (ossia \( \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \)).
In ogni caso, non è questo il punto: quel che vorrei capire è perché non viene col procedimento che ho scelto.
In ogni caso, non è questo il punto: quel che vorrei capire è perché non viene col procedimento che ho scelto.
La relazione \(T_{n,x_0}(x)\sim (x-x_0)^n\) è falsa.
Prendi \(f(x)=\exp(-1/x^2)\) prolungata per continuità in \(0\) ed \(x_0=0\). La funzione costruita è di classe \(C^\infty(\mathbb{R})\) e si ha \(T_{n,0}(x)=0\) per ogni \(n\); quindi \(T_{n,0}(x)\sim x^n\) non è vera.
Prendi \(f(x)=\exp(-1/x^2)\) prolungata per continuità in \(0\) ed \(x_0=0\). La funzione costruita è di classe \(C^\infty(\mathbb{R})\) e si ha \(T_{n,0}(x)=0\) per ogni \(n\); quindi \(T_{n,0}(x)\sim x^n\) non è vera.
Quindi in sostanza Taylor mi dice che
\[ f(x) - T_{n,x_0}(x) \in o((x-x_0)^n) \]
ed è sbagliato (grazie al controesempio fatto) dire che
\[ f(x) - T_{n,x_0}(x) \in o(T_{n,x_0}(x)) \]
Ok, credo di aver capito, grazie.
\[ f(x) - T_{n,x_0}(x) \in o((x-x_0)^n) \]
ed è sbagliato (grazie al controesempio fatto) dire che
\[ f(x) - T_{n,x_0}(x) \in o(T_{n,x_0}(x)) \]
Ok, credo di aver capito, grazie.
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