Teorema di sviluppabilità in serie di Taylor
Teorema: Teorema di sviluppabilità in serie di Taylor
Sia $f in C^(oo) [a,b]$. Se $EE M > 0 , EE L > 0$ tale che $AA n$ sia $|f^(n)|_(oo) <= L * M^n$ allora $f$ è sviluppabile in serie di Taylor su $[a,b]$.
Considerazioni:
Prima di tutto $f(x)$ può essere scritta come $f(x) = P_n (x) + (f^(n+1)(xi))/((n+1)!) * ( x - x_0)^(n+1)$ con $xi in (x_0 , x)$, dove $P_n (x) $ è il polinomio di Taylor di ordine $n$ della funzione $f$.
Allora è sufficiente dimostrare che $|f(x) - P_n (x)| = (|f^(n+1)(xi)|)/((n+1)!) * |( x - x_0)^(n+1)|$ tenda a $0$ per $n -> +oo$ per provare che $f$ è sviluppabile in serie di Taylor su $[a,b]$.
Basta provare che $(||f^(n+1)||_(oo))/((n+1)!) * ( b - a )^(n+1)$,
essendo $|f(x) - P_n (x)| <= (||f^(n+1)||_(oo))/((n+1)!) * ( b - a )^(n+1)$.
Premesso questo, a cosa servono le costanti $L$ ed $M$ che vengono introdotte nelle ipotesi del teorema?
L'idea che mi sono fatto è che $L * M^n$, se $M > 1$, non è poi troppo restrittiva come ipotesi sulla derivata $n$-esima, ma è restrittiva quel che basta perché si possa maggiorare $(||f^(n+1)||_(oo))/((n+1)!) * ( b - a )^(n+1)$ con qualcosa che tenda a $0$ (fattoriale imperat).
E' corretto?
Grazie in anticipo.
Sia $f in C^(oo) [a,b]$. Se $EE M > 0 , EE L > 0$ tale che $AA n$ sia $|f^(n)|_(oo) <= L * M^n$ allora $f$ è sviluppabile in serie di Taylor su $[a,b]$.
Considerazioni:
Prima di tutto $f(x)$ può essere scritta come $f(x) = P_n (x) + (f^(n+1)(xi))/((n+1)!) * ( x - x_0)^(n+1)$ con $xi in (x_0 , x)$, dove $P_n (x) $ è il polinomio di Taylor di ordine $n$ della funzione $f$.
Allora è sufficiente dimostrare che $|f(x) - P_n (x)| = (|f^(n+1)(xi)|)/((n+1)!) * |( x - x_0)^(n+1)|$ tenda a $0$ per $n -> +oo$ per provare che $f$ è sviluppabile in serie di Taylor su $[a,b]$.
Basta provare che $(||f^(n+1)||_(oo))/((n+1)!) * ( b - a )^(n+1)$,
essendo $|f(x) - P_n (x)| <= (||f^(n+1)||_(oo))/((n+1)!) * ( b - a )^(n+1)$.
Premesso questo, a cosa servono le costanti $L$ ed $M$ che vengono introdotte nelle ipotesi del teorema?
L'idea che mi sono fatto è che $L * M^n$, se $M > 1$, non è poi troppo restrittiva come ipotesi sulla derivata $n$-esima, ma è restrittiva quel che basta perché si possa maggiorare $(||f^(n+1)||_(oo))/((n+1)!) * ( b - a )^(n+1)$ con qualcosa che tenda a $0$ (fattoriale imperat).
E' corretto?
Grazie in anticipo.
Risposte
Le costanti in sé non servono a niente; l'idea è che la funzione è sviluppabile se la successione delle derivate non cresce eccessivamente. A parole diresti: "se la successione delle derivate cresce al più esponenzialmente allora \(f\) è sviluppabile".
E' come pensavo, allora. Grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo