Teorema di Stokes:esercizio

[emaz92]

"Usare il teorema di Stokes per dimostrare che il seguente integrale curvilineo ha il valore indicato: $int_(C)ydx+zdy+xdz=(pisqrt(3)a^2)$ dove $C$ è la curva di intersezione della sfera $x^2+y^2+z^2=a^2$ e del piano $x+y+z=0$
Inoltre precisare anche come bisogna percorrere la curva per ottenere il risultato voluto$

E' la prima volta che devo utilizzare il teorema di Stokes fra l' intersezione di due curve, non saprei come sbloccarlo sinceramente, o almeno, il mio tentativo è stato questo: ho trovato la curva di intersezione mettendo a sistema, poi ho calcolato il prodotto vettoriale fondamentale e il rotore,e fatto il prodotto scalare. Non mi torna il risultato però, vorrei sapere se il mio procedimento è giusto, e se possibile conoscere altri modi

[Sk_Anonymous]

Calcolando il rotore di quel campo vettoriale:

$vec(F)=yvec(i)+zvec(j)+xvec(k) rarr \grad^^vec(F)=-vec(i)-vec(j)-vec(k)$

si può notare che è diretto perpendicolarmente al piano. Quindi, invece di calcolare esplicitamente il flusso attraverso la superficie, si può moltiplicare il modulo, $sqrt3$, per la proiezione della stessa superficie sul piano, $\pia^2$, essendo un cerchio di raggio $a$. Quindi:

$int_(C)ydx+zdy+xdz=sqrt(3)\pia^2$

[emaz92]

"speculor":Calcolando il rotore di quel campo vettoriale:

$vec(F)=yvec(i)+zvec(j)+xvec(k) rarr \grad^^vec(F)=-vec(i)-vec(j)-vec(k)$

si può notare che è diretto perpendicolarmente al piano. Quindi, invece di calcolare esplicitamente il flusso attraverso la superficie, si può moltiplicare il modulo, $sqrt3$, per la proiezione della stessa superficie sul piano, $\pia^2$, essendo un cerchio di raggio $a$. Quindi:

$int_(C)ydx+zdy+xdz=sqrt(3)\pia^2$

grazie speculor per la risposta. Avrei una domanda: perchè si può moltiplicare il modulo del rotore per la proiezione della superficie sul piano? il rotore è perpendicolare al piano ok, qui ci siamo...però non capisco quel passaggio.
Cioè, se il rotore è perpendicolare alla superficie il prodotto scalare fra il rotore stesso e l' elemento di superficie è uguale al prodotto dei moduli, questo intendi?

[Sk_Anonymous]

Quando calcoli il flusso infinitesimo:

$d\Phi=vec(F)*vec(n)dS=|vec(F)|cos\thetadS$

hai due possibilità:

$|vec(F)|cos\thetadS=F_(\bot)dS$

dove $F_(\bot)$ è la componente del campo perpendicolare all'elemento infinitesimo di superficie,

$|vec(F)|cos\thetadS=|vec(F)|dS_(\bot)$

dove $dS_(\bot)$ è la proiezione dell'elemento infinitesimo di superficie sul piano perpendicolare alla direzione del campo.

[emaz92]

"speculor":Quando calcoli il flusso infinitesimo:

$d\Phi=vec(F)*vec(n)dS=|vec(F)|cos\thetadS$

hai due possibilità:

$|vec(F)|cos\thetadS=F_(\bot)dS$

dove $F_(\bot)$ è la componente del campo perpendicolare all'elemento infinitesimo di superficie,

$|vec(F)|cos\thetadS=|vec(F)|dS_(\bot)$

dove $dS_(\bot)$ è la proiezione dell'elemento infinitesimo di superficie sul piano perpendicolare alla direzione del campo.

giusto, giusto, grazie ancora speculor. Ultima domanda promesso: se invece volessi calcolarlo analiticamente quali sono i passaggi che dovrei fare? vorrei capire il procedimento.
Io pensavo di trovare la curva di intersezione mettendo a sistema la sfera col piano, che è un ellisse, poi calcolare il prodotto vettoriale fondamentale(parlo di di $nds$ che diventa $<-(del(f))/(del(x)),-(del(f))/(del(y)),1>dxdy$) e il rotore,e fare il prodotto scalare. Ovviamente i calcoli sarebbero molto laboriosi ma per sapere se il procedimento può essere corretto

[emaz92]

mi autoquoto [/quote]
giusto, giusto, grazie ancora speculor. Ultima domanda promesso: se invece volessi calcolarlo analiticamente quali sono i passaggi che dovrei fare? vorrei capire il procedimento.
Io pensavo di trovare la curva di intersezione mettendo a sistema la sfera col piano, che è un ellisse, poi calcolare il prodotto vettoriale fondamentale(parlo di di $nds$ che diventa $<-(del(f))/(del(x)),-(del(f))/(del(y)),1>dxdy$) e il rotore,e fare il prodotto scalare. Ovviamente i calcoli sarebbero molto laboriosi ma per sapere se il procedimento può essere corretto[/quote]

[Sk_Anonymous]

Quella curva dovrebbe essere una circonferenza. In ogni modo, devi fare un integrale di superficie avente come bordo quella curva. Si tratta di parametrizzare la superficie opportunamente, stando piuttosto attenti alle limitazioni da imporre ai parametri.

[emaz92]

"speculor":Quella curva dovrebbe essere una circonferenza. In ogni modo, devi fare un integrale di superficie avente come bordo quella curva. Si tratta di parametrizzare la superficie opportunamente, stando piuttosto attenti alle limitazioni da imporre ai parametri.

Grazie, ma sono riuscito a farlo alla fine, e la curva è un ellisse in realtà!, perchè l' intersezione è si una circonferenza vista nello spazio, ma quando metti a sistema, il sistema ti dà la proiezione sul piano $xy$ che diventa un ellisse

[Sk_Anonymous]

Se ritieni di doverla proiettare sul piano $xy$ è un altro discorso, immagino tu l'abbia fatto per parametrizzare la superficie con le opportune limitazioni sui parametri utilizzati.