Teorema di Stokes e orientazione
Ciao a tutti, ho un problema nel capire se sto considerando $\vec n$ nel verso giusto o sbagliato. Per farvi capire il mio problema riporto l'esercizio e la mia risoluzione fino al punto in cui non capisco quali considerazioni devo fare.
Verificare il teorema di Stokes per la superficie
$S={(x,y,z) in R^3 : z=sqrt(x^2+y^2) , x^2+y^2<=1}$
e il campo vettoriale $F(x,y,z)=(y-x,2y+z,-z)$
Risolvo in questo modo:
Calcolo il rotore: $rot \vec F=(-1,0,-1)$
Parametrizzo la superficie: $S: \vec \phi=\{(x=rho cos theta) , (y=rho sin theta) , (z=rho):}$ con $theta in [0,2pi]$ e $rho in [0,1]$
Calcolo $\vec n=\vec \phi_\rho ^^ \vec \phi_theta= (-rho cos theta , - rho sin theta , rho)$
Calcolo $\int_0^1 \int_0^{2pi} d\rho d\theta = -pi $ che é l'opposto di quello che dovrei ottenere $(pi)$,
quindi presumo che $\vec n$ debba essere $(rho cos theta , rho sin theta , -rho)$.
Quello che non capisco é come fare a capire se sto prendendo $\vec n$ nel verso giusto o sbagliato. Se io mi disegno graficamente la superficie (in questo caso un cono che ha la punta nell' origine fino ad altezza $z=1$) quali considerazioni devo fare per verificare se la scelta che faccio di $\vec n$ é corretta o no?
Se mi aiutate a capire facendo un riferimento a questo esercizio ve ne sarei molto grati
grazie
Verificare il teorema di Stokes per la superficie
$S={(x,y,z) in R^3 : z=sqrt(x^2+y^2) , x^2+y^2<=1}$
e il campo vettoriale $F(x,y,z)=(y-x,2y+z,-z)$
Risolvo in questo modo:
Calcolo il rotore: $rot \vec F=(-1,0,-1)$
Parametrizzo la superficie: $S: \vec \phi=\{(x=rho cos theta) , (y=rho sin theta) , (z=rho):}$ con $theta in [0,2pi]$ e $rho in [0,1]$
Calcolo $\vec n=\vec \phi_\rho ^^ \vec \phi_theta= (-rho cos theta , - rho sin theta , rho)$
Calcolo $\int_0^1 \int_0^{2pi}
quindi presumo che $\vec n$ debba essere $(rho cos theta , rho sin theta , -rho)$.
Quello che non capisco é come fare a capire se sto prendendo $\vec n$ nel verso giusto o sbagliato. Se io mi disegno graficamente la superficie (in questo caso un cono che ha la punta nell' origine fino ad altezza $z=1$) quali considerazioni devo fare per verificare se la scelta che faccio di $\vec n$ é corretta o no?
Se mi aiutate a capire facendo un riferimento a questo esercizio ve ne sarei molto grati
grazie
Risposte
Perché dici "quello che dovrei ottenere"? Qual è l'integrale di linea che hai calcolato? Immagino tu abbia fatto la circuitazione lungo il bordo superiore del cono, ossia il cerchio di raggio $1$ a quota $z=1$. Ma che orientazione hai scelto per questa circuitazione?
"dissonance":
Perché dici "quello che dovrei ottenere"?
Perché é la soluzione che trovo sulle dispense
"dissonance":
Qual è l'integrale di linea che hai calcolato? Immagino tu abbia fatto la circuitazione lungo il bordo superiore del cono, ossia il cerchio di raggio $ 1 $ a quota $ z=1 $. Ma che orientazione hai scelto per questa circuitazione?
Si, ho fatto come dici e ti posto la mia risoluzione della seconda parte dell'esercizio.
Parametrizzo il bordo di $S$ in questo modo: $delS(theta)=(cos theta , sin theta, 1)$ con $theta in [0,2pi]$
Calcolo $\vec \tau(theta)=(-sin theta , cos theta , 0)$
Calcolo $\int_0^{2pi} <\vec F(theta),\vec \tau(theta)> d theta $ e ottengo anche quí $-pi$
Quindi il teorema sarebbe verificato.
Ma perché sulle dispense il risultato é $pi$ e io ottengo $-pi$ ?
Forse non mi é ben chiaro il concetto di come orientare un bordo in accordo con la superficie e come verificare se il vettore che ottengo é nel verso giusto rispetto all'orientazione scelta.
Provo a spiegare meglio i miei dubbi:
Il risultato di questo esercizio nelle dispense é $ pi $ ( e non $ - pi $ come ho calcolato io ) perché il flusso é considerato uscente?
Quindi nel momento in cui calcolo $ \vec n $ e osservo che la terza componente é positiva (quindi entrante) dovrei moltiplicare tutto per $ -1 $ cosí da ottenerla uscente? Dico bene?
Effettivamente facendo cosí il risultato dell'integrale esce $ pi $.
Poi passando all'integrale di linea, se voglio orientare il bordo in accordo con la superficie (uscente), deve essere orientato in senso antiorario, giusto?
Quindi parametrizzo il bordo come $ ( cos theta , sin theta , 1 ) $, faccio la derivata $ ( - sin theta , cos theta , 0 ) $ e osservo che sta ruotando nel verso giusto (antiorario). Corretto?
Peró continuando a svolgere i calcoli alla fine arrivo ad un $ \int_0^{2pi}-sin^2 theta d theta $ che fa $ -pi $ ... Quindi mi viene il dubbio che sto facendo troppa confusione
Il risultato di questo esercizio nelle dispense é $ pi $ ( e non $ - pi $ come ho calcolato io ) perché il flusso é considerato uscente?
Quindi nel momento in cui calcolo $ \vec n $ e osservo che la terza componente é positiva (quindi entrante) dovrei moltiplicare tutto per $ -1 $ cosí da ottenerla uscente? Dico bene?
Effettivamente facendo cosí il risultato dell'integrale esce $ pi $.
Poi passando all'integrale di linea, se voglio orientare il bordo in accordo con la superficie (uscente), deve essere orientato in senso antiorario, giusto?
Quindi parametrizzo il bordo come $ ( cos theta , sin theta , 1 ) $, faccio la derivata $ ( - sin theta , cos theta , 0 ) $ e osservo che sta ruotando nel verso giusto (antiorario). Corretto?
Peró continuando a svolgere i calcoli alla fine arrivo ad un $ \int_0^{2pi}-sin^2 theta d theta $ che fa $ -pi $ ... Quindi mi viene il dubbio che sto facendo troppa confusione
Non sono un esperto, ma credo che una risposta semplice (e non rigorosa) sia questa:
A seconda dell' orientazione della superficie l'integrale del flusso cambia semplicemente segno. Lo stesso vale per l'integrale del campo vettoriale sulla frontiera della superficie.
Ora: se i due integrali danno lo stesso risultato, con lo stesso segno, vuol dire che le due orientazioni sono in accordo.
Dovrebbe esserci anche un modo semplice per ricavare la parametrizzazione della frontiera indotta dalla parametrizzazione della superficie in modo che le due orientazioni siano in accordo, ma adesso non mi viene in mente.
A seconda dell' orientazione della superficie l'integrale del flusso cambia semplicemente segno. Lo stesso vale per l'integrale del campo vettoriale sulla frontiera della superficie.
Ora: se i due integrali danno lo stesso risultato, con lo stesso segno, vuol dire che le due orientazioni sono in accordo.
Dovrebbe esserci anche un modo semplice per ricavare la parametrizzazione della frontiera indotta dalla parametrizzazione della superficie in modo che le due orientazioni siano in accordo, ma adesso non mi viene in mente.
"singularity":
A seconda dell' orientazione della superficie l'integrale del flusso cambia semplicemente segno. Lo stesso vale per l'integrale del campo vettoriale sulla frontiera della superficie.
Quindi se sbaglio ad orientare la superficie, o la sua frontiera, in entrambi i casi l'unica cosa che varia nel risultato é il segno?
Se ad esempio il flusso della superficie é uscente e scelgo un orientazione che non é in accordo con la superficie, il risultato sará sempre lo stesso (nella peggiore delle ipotesi, con segno opposto)?
"bellrodo":
Quindi se sbaglio ad orientare la superficie, o la sua frontiera, in entrambi i casi l'unica cosa che varia nel risultato é il segno?
Se ad esempio il flusso della superficie é uscente e scelgo un orientazione che non é in accordo con la superficie, il risultato sará sempre lo stesso (nella peggiore delle ipotesi, con segno opposto)?
Ripeto: non sono un esperto, ma sono abbastanza sicuro che la risposta sia si ad entrambe le domande. In fondo una orientazione non è altro che un vettore, tangente per un curva e normale per una superficie. In entrambi i casi, data una parametrizzazione di classe $C^1$, dovrebbe essere univocamente definito in ogni punto, a meno del segno.
Aspettiamo conferme da chi ne sa di più
@bellrodo: Basta leggere con più cura l'enunciato del teorema. Si parla di orientazione, sia del campo di versori normali, sia della frontiera. Se le orientazioni sono concordi (vai a vedere sul libro cosa questo significhi), allora il flusso attraverso la superficie è uguale alla circuitazione lungo il bordo. Se le orientazioni sono discordi il segno è opposto.
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