[Teorema di Schwarz - Equazioni a derivate parziali]

[Magma1]

Se si considera il sistema di equazioni nell'incognita $f=f(x_1 x_2 )$

${ ( (∂f)/(∂x_1 )=F_1 (x_1,x_2 ) ),( (∂f)/(∂x_2 )=F_2 (x_1,x_2 ) ):}$

Allora, per il teorema di Schwarz[nota]Teorema di Schwarz
Sia $f:A⊆RR^n→RR$ con $A$ aperto tale che esistono e sono continue in $A$
le derivate seconde miste $(∂^2 f)/(∂x_1 ∂x_2 ),(∂^2 f)/(∂x_2 ∂x_1 )$

$rArr (∂^2 f)/(∂x_2 ∂x_1 )=(∂^2 f)/(∂x_1 ∂x_2 )$[/nota], condizione necessaria affinché $f$ sia soluzione del sistema è

$(∂^2 f)/(∂x_2 ∂x_1 )=(∂^2 f)/(∂x_1 ∂x_2 ) hArr (∂ F_1)/(∂x_2 )=(∂ F_2)/(∂x_1 )$

Buona sera,

Ho la funzione incognita $f(x_1, x_2)$ le cui derivate parziali sono $F_1, F_2$; affinché si possa applicare il teorema di Schwarz devono esistere le derivate seconde miste e devono essere continue, cioè la funzione $f in C^2$.
Non capisco però perché ciò sia una condizione necessaria: io non so a priori che tale funzione sia $C^2$; o mi son perso qualcosa?

EDIT: Semplicemente il professore si sarà dimenticato di scrivere $f in C^2$?

[dissonance]

Sicuramente è sottointeso che la soluzione deve essere almeno \(C^2\).

[Magma1]

"dissonance":Sicuramente è sottointeso che la soluzione deve essere almeno \(C^2\).

Perfetto, grazie